Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM: $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 10-11-2013 - 08:49

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

  •    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
  •    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
  •    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Mong mọi người giúp giùm 2 bài này. 



#2 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 10-11-2013 - 09:01

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

  •    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
  •    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
  •    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Ta có :

$a(1-a)=a-a^{2}\leq \frac{1}{4}$ ( dễ dàng chứng minh bằng phép biến đổi tương đương )

Chứng minh tương tự : $b(1-b)\leq \frac{1}{4};c(1-c)\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{64}$

Mà từ giả thiết ta có :

$gt\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)> \frac{1}{64}$

Suy ra mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 trong các BĐT của giả thiết là sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 10-11-2013 - 09:02

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3 pluswith

pluswith

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐT

Đã gửi 10-11-2013 - 09:10

Cách giải : Một chút biến đổi tương đương ta đưa bài toán về dạng dễ hơn.

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\le(1+ab)(a^5+b^5)$ (do đk bài toán)

$\Leftrightarrow a^5+b^5+a^2b^2(a+b)\le a^5+b^5+ab(a^5+b^5)$

$\Leftrightarrow a^2b^2(a+b)\le ab(a^5+b^5)$

$\Leftrightarrow ab(a+b)\le a^5+b^5$

$\Leftrightarrow ab(a+b)\le a^3+b^3$ (1)

Do a,b là các số dương bất đẳng thức (1) dễ dàng chứng minh bằng 2 cách :

1. Sử dụng bđt AM-GM (Cauchy) : $a^3+a^3+b^3\ge 3a^2b;b^3+b^3+a^3\ge 3ab^2$ Rồi cộng lại là xong

2. Biền đổi tương đương tiếp (1) $\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\ge 0$ (Đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

@@: hieua Ta có thể chứng mình $a^3+b^3\ geq ab(a+b)$ như sau 

$a^2+b^2 \geq 2ab$ $\Rightarrow a^2-ab+b^2 \geq ab$ $\Rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \geq ab(a+b)$ 

$<=> a^3+b^3 \geq ab(a+b)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 16:14

Quyết tâm rèn luyện hình hc :wub:  


#4 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 10-11-2013 - 09:10

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

 

Ta có : $gt\Rightarrow \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{3}+b^{3}}=1$

$a^{2}+b^{2}\leq \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{3}+b^{3}}+ab\Leftrightarrow a^{5}+a^{3}b^{2}+b^{5}+a^{2}b^{3}\leq a^{5}+b^{5}+a^{4}b+ab^{4}\Leftrightarrow a^{3}b(a-b)-ab^{3}(a-b)\geq 0\Leftrightarrow ab(a^{2}-b^{2})(a-b)\geq 0\Leftrightarrow ab(a+b)(a-b)^{2}\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng do  $a;b>0$

Vậy ta có $Q.E.D$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#5 NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K10A - THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 10-11-2013 - 09:14

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

  •    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
  •    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
  •    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Mong mọi người giúp giùm 2 bài này. 

b) 

Từ:

$a(1-b)> \frac{1}{4}$

$b(1-c)> \frac{1}{4}$

$c(1-a)> \frac{1}{4}$

$a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{64}$

Vì $0<a,b,c<1$=> $(1-a),(1-b),(1-c)$ dương

Áp dụng BDT Cô-si ta có: 

$a(1-a)\leq \left ( \frac{a+1-a}{2} \right )^2=\frac{1}{4}$

Tương tự: 

$b(1-b)\leq \frac{1}{4}$

$c(1-c)\leq \frac{1}{4}$

$=>a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leq \frac{1}{64}$

=> Ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức ban đầu là sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 10-11-2013 - 09:16

Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh