Chủ đề này có 7 trả lời

[TianaLoveEveryone]

1/ a, Cho $x,y\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$. (1)

CMR: $x^{2}+y^{2}=1$ (2)

    b. Từ (2) có thể suy ra (1) không? Vì sao?

2/ a,Cho $x,y,z\epsilon \mathbb{R}$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=a\\\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}

\end{matrix}\right.$

 

CM: Ít nhất 1 trong 3 số x,y,a bằng a.

   b, Tìm x,y,z biết:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}
\\ y^{2}+2z^{2}=1

\end{matrix}\right.$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử

$A=a^{2}-2b^{2}+3b-3a+ab$

4. TÌm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình:

$(12x-1)(6x-1)(4x-1)=330$

5. Tìm Min:

$A= (x+\frac{1}{x})^{2}+(v+\frac{1}{v})^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TianaLoveEveryone: 10-11-2013 - 19:22

[nghiemthanhbach]

1/ a, Cho $x,y\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$. (1)

CMR: $x^{2}+y^{2}=1$ (2)

    b. Từ (2) có thể suy ra (1) không? Vì sao?

2/ a,Cho $x,y,z\epsilon \mathbb{R}$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=a\\\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}

\end{matrix}\right.$

 

CM: Ít nhất 1 trong 3 số x,y,a bằng a.

   b, Tìm x,y,z biết:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}
\\ y^{2}+2z^{2}=1

\end{matrix}\right.$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử

$A=a^{2}-2b^{2}+3b-3a+ab$

4. TÌm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình:

$(12x-1)(6x-1)(4x-1)=330$

5. Tìm Min:

$A= (x+\frac{1}{x})^{2}+(v+\frac{1}{v})^{2}$

Mình xin giải câu 1a

Bài này ta nhận xét như sau:

Vì $VP=1>0$ và dựa trên đề bài có thể suy ra $x,y$ phải dương

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ngược ta có:

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}\\ y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{x^2-x^2+y^2-y^2+1+1}{2}=1$

Dấu bằng đã xảy ra và nó chỉ xảy ra với điểu kiện: $\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{1-y^2}\\ y=\sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2\\ y^2=1-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2+y^2=1\rightarrow Q.E.D$

b) Ta có $x^2+y^2=1$ nên ta có: $\left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2\\ y^2=1-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{1-y^2}\\ y=\sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right.$

Từ đó cauchy đảo ra dpcm

Đúng không nhỉ? =.=?

có là phải là thuộc $R>0$ chứ!?

@bách: Hề hề quên mất hô hô , không nhìn mà gõ điên cuồng nó vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 10-11-2013 - 19:56

[Yagami Raito]

Mình xin giải câu 1a
Bài này ta nhận xét như sau:
Vì $VP=1>0$ và dựa trên đề bài có thể suy ra $x,y$ phải dương
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ngược ta có:
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}\\ y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{x^2-x^2+y^2-y^2+1+1}{2}=1$
Dấu bằng đã xảy ra và nó chỉ xảy ra với điểu kiện: $\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{1-y^2}\\ y=\sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2\\ y^2=1-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2+y^2=1\rightarrow Q.E.D$
b) Ta có $x^2+y^2=1$ nên ta có: $\left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2\\ y^2=1-x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{1-y^2}\\ y=\sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right.$
Từ đó cauchy đảo ra dpcm

Đúng không nhỉ? =.=?

có là phải là thuộc $R>0$ chứ!?

Câu b ) sai rồi nhé Với $x=0$ và $y=-1$ thì $x\sqrt{1y^2}+y\sqrt{1-x^2}=-1$ .
Nên Từ $(2)$ không thể suy ra $(1)$
Đây là lỗi rất dễ mắc mong mọi người chú ý

3. Phân tích đa thức thành nhân tử
$A=a^{2}-2b^{2}+3b-3a+ab$

$A=(a-b)(a+2b-3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 19:52

[Viet Hoang 99]

5. Tìm Min:
$A= (x+\frac{1}{x})^{2}+(v+\frac{1}{v})^{2}$

Làm câu nào thì trích dẫn 1 câu thôi ... (Lag)
Bài 5:
Làm như này đúng không nhỉ:$x+\frac{1}{x}\geq 2$
$v+\frac{1}{v}\geq 2$
=>Min=8 khi $x=v=1$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử
$A=a^{2}-2b^{2}+3b-3a+ab$

Bài 3:
$A=a^{2}-2b^{2}+3b-3a+ab$
$\Leftrightarrow A=a^{2}-ab+2ab-2b^{2}-3a+3b$
$\Leftrightarrow A=(a-b)(a+2b-3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 19:53

[zzhanamjchjzz]

một cách giải khác bài 1 
Áp dụng BĐT bunhiacopski cho 2 dãy số $x;y$ và $\sqrt{1-y^2};\sqrt{1-x^2}$
$(x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)\geq 1$
Đặt $m=x^2+y^2$
$m(2-m)\geq 1$
$2m-m^2-1\geq 0$
$m^2-2m+1\leq 0$
$(m-1)^2\leq 0$
$m\leq 1$

=>dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 10-11-2013 - 19:53

[Yagami Raito]

 

4. TÌm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình:

$(12x-1)(6x-1)(4x-1)=330$

 

Dễ nhận thấy phương trình trên vô nghiệm nguyên vì $VT$ không chia hết cho 2 còn $VP=330 \vdots 2$

[zzhanamjchjzz]

2/ a,Cho $x,y,z\epsilon \mathbb{R}$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=a\\\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}

\end{matrix}\right.$

 

CM: Ít nhất 1 trong 3 số x,y,z bằng a.

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}-\frac{1}{z}$


$\frac{x+y}{xy}-\frac{a-z}{az}=0$                                                 

$(x+y)az-xy(a-z)=0$                                                                   $(1)$

 

mà $x+y+z=a$
hay $x+y=a-z$                                                                                       $(2)$

Từ $(1)$ va $(2)$,ta có
$az(a-z)-xy(a-z)=0$
$(a-z)(az-xy)=0$
=> $a=z(dpcm)$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 10-11-2013 - 20:44

[Yagami Raito]

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}-\frac{1}{z}$


$\frac{x+y}{xy}-\frac{a-z}{az}=0$                                                 

$(x+y)az-xy(a-z)=0$                                                                   $(1)$

 

mà $x+y+z=a$
hay $x+y=a-z$                                                                                       $(2)$

Từ $(1)$ va $(2)$,ta có
$az(a-z)-xy(a-z)=0$
$(a-z)(az-xy)=0$
=> $a=z(dpcm)$
 

Từ đây ta có thể áp dụng để giải quyết câu 4b)