Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Nghiệm nguyên $x^{2}-4xy+5y^{2}=16$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 10-11-2013 - 19:24

1)Tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên.

Cmr: Có thể cắt tấm bìa thành 6 phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên,

2)Một tam giác có số đo độ dài đường cao nguyên dương. Đường tròn nội tiếp bán kính $r=1$.

Cm: Tam giác đó đều.

3)Nghiệm nguyên:

a)$x^{2}-4xy+5y^{2}=16$

b)$x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$

 

 



#2 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 890 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-11-2013 - 19:40

 

3)Nghiệm nguyên:

a)$x^{2}-4xy+5y^{2}=16$

b)$x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$

a,ta có :$(x^{2}-4xy+4y^{2})+y^{2}=16\\ \Leftrightarrow (x-2y)^{2}+y^{2}=0^{2}+4^{2}=0^{2}+(-4)^{2}=4^{2}+0^{2}=(-4)^{2}+0^{2} \Rightarrow ......$

b, sử dụng kẹp, ta có :

$x^{6}+2x^{3}+1<x^{6}+3x^{3}+1<x^{6}+4x^{3}+4\\$
$\Leftrightarrow (x^{3}+1)^{2}<y^{4}<(x^{3}+2)^{2}\\$
do đó pt vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 12-11-2013 - 10:44

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#3 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 10-11-2013 - 19:41

1)Tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên.

Cmr: Có thể cắt tấm bìa thành 6 phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên,

Gọi $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông $ABC$ , $c$ là cạnh huyền.

Ta có : $a^{2}+b^{2}=c^{2};a,b,c\epsilon N^{*}$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{ab}{2}$

Trước hết ta chứng minh $ab$ chia hết cho $12$

$\blacksquare$ Chứng minh $ab\vdots 3$

Nếu cả $a$ và $b$ đồng thời không chia hết cho $3$ thì $a^{2}+b^{2}$ chia $3$ dư $2$

$\Rightarrow$ Số chính phương $c^{2}$ chia $3$ dư $2$ ( vô lý)

$\blacksquare$ Chứng minh $ab\vdots 4$

+ Nếu $a,b$ chẵn thì $ab$ chia hết cho $4$

+ Nếu trong hai số $a,b$ có số lẻ, giả sử $a$ lẻ

Suy ra $c$ lẻ. Vì nếu $c$ chắn thì $c^{2}\vdots 4$, trong lúc $a^{2}+b^{2}$ không chia hết cho $4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=2k+1 \\ c=2h+1 \end{matrix}\right.$ ($k,h\epsilon N$)

Ta có :

$b^{2}=(2h+1)^{2}-(2k+1)^{2}=4(h-k)(h+k+1)=4(h-k)(h-k+1)+8k(k-h)\vdots 8$

Suy ra $b\vdots 4$

Nếu ta chia cạnh $AB$ thành $6$ phần bằng nhau , nối các điểm chia với $C$ thì tam giác $ABC$ được chia thành $6$ tam giác có diện tích bằng $\frac{ab}{12}$ là một số nguyên



#4 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 10-11-2013 - 20:36

2)Một tam giác có số đo độ dài đường cao nguyên dương. Đường tròn nội tiếp bán kính $r=1$.

Cm: Tam giác đó đều.

Bài này ở đây



#5 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 11-11-2013 - 11:30

 

a,ta có :$(x^{2}-4xy+4y^{2})+y^{2}=16\\ \Leftrightarrow (x-2y)^{2}+y^{2}=0^{2}+4^{2}=0^{2}+(-4)^{2}=4^{2}+0^{2}=(-4)^{2}+0^{2} \Rightarrow ......$

b, sử dụng kẹp, ta có :

$x^{6}+2x^{3}+1<x^{6}+3x^{3}+1<x^{6}+4x^{3}+4$
$\Leftrightarrow (x^{3}+1)^{2}<y^{4}<(x^{3}+2)^{2}$
do đó pt vô nghiệm

 

Nghiệm nguyên dương: a)$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=20$

                                      b)$2(x+y+z)=x(yz-1)$



#6 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 890 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-11-2013 - 11:19

Nghiệm nguyên dương: a)$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=20$ (1)

                                      

a,Ta có :

Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta hoàn toàn các thể giả sử $1\leq x\leq y\leq z$

$20= x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 3x^{2}+x^{3}\\ \Rightarrow x^{3}+3x^{2}-20\leq 0\\ \Rightarrow (x-2)(x^{2}+5x+10)\leq 0\\ \Rightarrow x-2 \leq 0 (x^{2}+5x+10 >0)\\ \Rightarrow x=1,2 (x\in \mathbb{Z}^{+})$

Trường hợp 1 $x=1$

$(1)\Leftrightarrow 19= +y^{2}+z^{2}+yz\geq 2y^{2}+y^{2}=3y^{2}\\ \Rightarrow y^{2}\leq \frac{19}{3}\Rightarrow y=1,2 (y\in \mathbb{Z}^{+})$

trường hợp 1 nhỏ : $y=1$

$(1)\Leftrightarrow 2+z+z^{2}=20\Leftrightarrow z^{2}+z-18=0$

Dễ thấy phương trình trên không có nghiệm nguyên vì biệt thức không phải là số chính phương.

trường hợp 2 nhỏ :$y=2$

$(1)\Leftrightarrow 1+4+z^{2}+2z=20\\ \Leftrightarrow z^{2}+2z-15=0\\ \Leftrightarrow (z-3)(z+5)=0\\ \Leftrightarrow z=3 (z\in\mathbb{Z}^{+})$

Trường hợp 2 : $x=2$

$(1)\Leftrightarrow 20=4+y^{2}+z^{2}+2yz\\ \Leftrightarrow 16=(y+z)^{2}\Leftrightarrow 4=y+z\geq 2y \\\Rightarrow y=1,2 (y,z \in \mathbb{Z}^{+})$

Tuy nhiên cả hai giá trị trên không thỏa mãn bởi giả sử ban đầu của ta $1\leq x\leq y\leq z$

 

Vậy $\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 14-11-2013 - 12:11

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#7 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 12-11-2013 - 12:16

a,Ta có :

$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3xyz$

Có thể giải thích chỗ này không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-11-2013 - 18:55


#8 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-11-2013 - 18:20

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz \geq 3xyz+xyz=4xyz

 

Có thể giải thích chỗ này không?

Đáng lẽ $3xyz\leq x^{3}+y^{3}+z^{3}$ chứ nhỉ   :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:



#9 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 13-11-2013 - 17:29

Gọi $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông $ABC$ , $c$ là cạnh huyền.

Ta có : $a^{2}+b^{2}=c^{2};a,b,c\epsilon N^{*}$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{ab}{2}$

Trước hết ta chứng minh $ab$ chia hết cho $12$

$\blacksquare$ Chứng minh $ab\vdots 3$

Nếu cả $a$ và $b$ đồng thời không chia hết cho $3$ thì $a^{2}+b^{2}$ chia $3$ dư $2$

$\Rightarrow$ Số chính phương $c^{2}$ chia $3$ dư $2$ ( vô lý)

$\blacksquare$ Chứng minh $ab\vdots 4$

+ Nếu $a,b$ chẵn thì $ab$ chia hết cho $4$

+ Nếu trong hai số $a,b$ có số lẻ, giả sử $a$ lẻ

Suy ra $c$ lẻ. Vì nếu $c$ chắn thì $c^{2}\vdots 4$, trong lúc $a^{2}+b^{2}$ không chia hết cho $4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=2k+1 \\ c=2h+1 \end{matrix}\right.$ ($k,h\epsilon N$)

Ta có :

$b^{2}=(2h+1)^{2}-(2k+1)^{2}=4(h-k)(h+k+1)=4(h-k)(h-k+1)-8k(k-h)\vdots 8$

Suy ra $b\vdots 4$

Nếu ta chia cạnh $AB$ thành $6$ phần bằng nhau , nối các điểm chia với $C$ thì tam giác $ABC$ được chia thành $6$ tam giác có diện tích bằng $\frac{ab}{12}$ là một số nguyên

Sai dấu @@
Nhưng mà sao chia hết cho 8 vậy?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-11-2013 - 17:31


#10 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-11-2013 - 18:30

Sai dấu @@
Nhưng mà sao chia hết cho 8 vậy?

$(h-k)(h-k+1)$ là 2 số liên tiếp thì chia hết cho $2$, nên ....

P/s: Nhờ bạn đọc kỹ bài làm rồi đưa ra câu hỏi nhá. 



#11 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 890 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-11-2013 - 23:48

Có thể giải thích chỗ này không?

 

Đáng lẽ $3xyz\leq x^{3}+y^{3}+z^{3}$ chứ nhỉ   :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:

 

Dùng sắp thứ tự biến là xong rồi

 

 

Mình đã sửa lại rồi, mọi người xem đúng không  :mellow:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 15-11-2013 - 20:13

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#12 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 14-11-2013 - 05:40

Nghiệm nguyên dương: a)$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=20$

                                    

Dùng sắp thứ tự biến là xong rồi



#13 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-11-2013 - 18:29

Nghiệm nguyên dương: a)$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=20$

                                      b)$2(x+y+z)=x(yz-1)$

a, Có ở đây

b, Đề hình như là $2(y+z)=x(yz-1)$ chứ nhỉ???

Nhờ bạn xem lại giùm



#14 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 18-11-2013 - 18:30

a, Có ở đây

b, Đề hình như là $2(y+z)=x(yz-1)$ chứ nhỉ???

Nhờ bạn xem lại giùm

Ừ nhưng như đầu cũng làm được mà. Mình làm được rồi, nhân ra rồi chia cho $xyz$



#15 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 18-11-2013 - 18:33

Nghiệm nguyên dương:

$x^{4}+2x^{7}y-x^{14}-y^{2}=7$



#16 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-11-2013 - 18:42

Nghiệm nguyên dương:

$x^{4}+2x^{7}y-x^{14}-y^{2}=7$

$x^{4}+2x^{7}y-x^{14}-y^{2}=x^{4}-(x^{7}-y)^{2}=(x^{2}-x^{7}+y)(x^{2}+x^{7}-y)$

Đến đây thì dễ rồi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh