Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
zack

zack

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

$\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$



#2
pluswith

pluswith

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Cách giải : Bài toán phải có điều kiện a,b,c là các số dương nhé bạn.

Bất đẳng thức tương đương với $(1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})\ge \frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3(a^3+b^3+c^3)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{3(a^3+b^3+c^3)}$

$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$ $(1)$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM: $a^3+a^3+b^3\ge 3a^2b;a^3+a^3+c^3\ge 3a^2c$

Tương tự với cặp 3 số $(b^3,b^3,c^3),(b^3,b^3,a^3),(c^3,c^3,a^3),(c^3,c^3,b^3)$. 

Rồi cộng 6 bất đẳng thức lại có ngay $(1)$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pluswith: 11-11-2013 - 06:18

Quyết tâm rèn luyện hình hc :wub:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh