Chủ đề này có 8 trả lời

[Yagami Raito]

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

[Johan Liebert]

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

 

$x^3+y^3=2xy \leftrightarrow (x+y)^3=xy(3x+3y+2)$

 

$\leftrightarrow xy=\dfrac{(x+y)^3}{3x+3y+2}$

 

Đặt $x+y=t$

 

$\leftrightarrow 1-xy=1-\dfrac{t^3}{3t+2}=\dfrac{3t+2-t^3}{3t+2}=\dfrac{(t+1)^2(2-t)}{3t+2}$(1)

 

Lại có $x^3+y^3=2xy$

 

$\leftrightarrow t(x^2-xy+y^2)=2xy$

 

$\leftrightarrow (t-2)(x^2-xy+y^2)=-2(x-y)^2 \leftrightarrow (2-t)(x^2-xy+y^2)=2(x-y)^2$

 

Lại có $3t(x^2-xy+y^2)=6xy $

 

$ \leftrightarrow (3t+2)(x^2-xy+y^2)=2(x+y)^2$

 

$\leftrightarrow \dfrac{2-t}{3t+2}=\dfrac{(x-y)^2}{(x+y)^2}$(2)

 

Từ (1) và (2) dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 11-11-2013 - 10:19

[Yagami Raito]

Mình không hiểu cách của bạn lắm tuy nhiên mình có cách đơn giản hơn nhiều ~

 

* Nếu $x =0$ hoặc $y= 0$ thì $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ

*Nếu  $x,y \neq 0$ thì 

$x^3+y^3=2xy$ $\Rightarrow x+\dfrac{y^3}{x^2}=2.\dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow -xy=\dfrac{y^4}{x^2}-\dfrac{2y^2}{x}$

$\Rightarrow 1-xy=(\dfrac{y^2}{x}-1)^2$

$\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\dfrac{y^2}{x}-1|$ là số hữu tỉ.

[Van Chung]

Mình không hiểu cách của bạn lắm tuy nhiên mình có cách đơn giản hơn nhiều ~

 

* Nếu $x =0$ hoặc $y= 0$ thì $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ

*Nếu  $x,y \neq 0$ thì 

$x^3+y^3=2xy$ $\Rightarrow x+\dfrac{y^3}{x^2}=2.\dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow -xy=\dfrac{y^4}{x^2}-\dfrac{2y^2}{x}$

$\Rightarrow 1-xy=(\dfrac{y^2}{x}-1)^2$

$\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\dfrac{y^2}{x}-1|$ là số hữu tỉ.

Mình có một bài tương tự như vậy bạn giúp mình nhé: Cho x,y là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn $x^{5}+y^{5}=2x^{3}y^{3}. Chứng minh rằng H=1-\frac{1}{xy}$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

[Rias Gremory]

Mình có một bài tương tự như vậy bạn giúp mình nhé: Cho x,y là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn $x^{5}+y^{5}=2x^{3}y^{3}. Chứng minh rằng H=1-\frac{1}{xy}$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

 

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

Ở đây mình đã giải thêm $3$ cách. Bạn tham khảo thêm. Cái bài $x^{5}+y^{5}=2x^{3}y^{3}$ đấy cũng làm tương tự như cách của mình làm, và bài toán có thể tổng quát hóa được ...

[Van Chung]

Hôm nay đến lớp mình mới nghĩ ra cách làm. Mình làm giống cách thứ ba của bạn í. Dù sao cũng thank bạn nhé.

[duc15042000]

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

Mình có bài gần giống, các bạn giải giúp mình với nhé

Thay $x^3+y^3=2xy$ bằng $x^{2}+y^{2}+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^{2}=2$ là đc

[tcm]

$x^3 + y^3 = 2xy$

$\Leftrightarrow (x^3 + y^3)^2 = 4x^2y^2$

$\Leftrightarrow (x^3 - y^3)^2 = 4x^2y^2 - 4x^3y^3 = 4x^2y^2(1 - xy)$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 - xy} = |\frac{x^3 - y^3}{2xy}| \ \in \ Q$.

[kuhaza]

help me gấp $x^{5}+y^{5}=2x^{2}y^{2}$

cmr 1-xy là bình phương 1 số hữu tỉ