Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 11-11-2013 - 09:11

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2 Johan Liebert

Johan Liebert

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11T THPT chuyên Lam Sơn
  • Sở thích:Đọc truyện

Đã gửi 11-11-2013 - 10:18

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

 

$x^3+y^3=2xy \leftrightarrow (x+y)^3=xy(3x+3y+2)$

 

$\leftrightarrow xy=\dfrac{(x+y)^3}{3x+3y+2}$

 

Đặt $x+y=t$

 

$\leftrightarrow 1-xy=1-\dfrac{t^3}{3t+2}=\dfrac{3t+2-t^3}{3t+2}=\dfrac{(t+1)^2(2-t)}{3t+2}$(1)

 

Lại có $x^3+y^3=2xy$

 

$\leftrightarrow t(x^2-xy+y^2)=2xy$

 

$\leftrightarrow (t-2)(x^2-xy+y^2)=-2(x-y)^2 \leftrightarrow (2-t)(x^2-xy+y^2)=2(x-y)^2$

 

Lại có $3t(x^2-xy+y^2)=6xy $

 

$ \leftrightarrow (3t+2)(x^2-xy+y^2)=2(x+y)^2$

 

$\leftrightarrow \dfrac{2-t}{3t+2}=\dfrac{(x-y)^2}{(x+y)^2}$(2)

 

Từ (1) và (2) dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 11-11-2013 - 10:19


#3 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 11-11-2013 - 10:25

Mình không hiểu cách của bạn lắm tuy nhiên mình có cách đơn giản hơn nhiều ~

 

* Nếu $x =0$ hoặc $y= 0$ thì $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ

*Nếu  $x,y \neq 0$ thì 

$x^3+y^3=2xy$ $\Rightarrow x+\dfrac{y^3}{x^2}=2.\dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow -xy=\dfrac{y^4}{x^2}-\dfrac{2y^2}{x}$

$\Rightarrow 1-xy=(\dfrac{y^2}{x}-1)^2$

$\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\dfrac{y^2}{x}-1|$ là số hữu tỉ.


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#4 Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hương Lâm
  • Sở thích:nghe nhạc, học tiếng anh

Đã gửi 02-12-2013 - 20:12

Mình không hiểu cách của bạn lắm tuy nhiên mình có cách đơn giản hơn nhiều ~

 

* Nếu $x =0$ hoặc $y= 0$ thì $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ

*Nếu  $x,y \neq 0$ thì 

$x^3+y^3=2xy$ $\Rightarrow x+\dfrac{y^3}{x^2}=2.\dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow -xy=\dfrac{y^4}{x^2}-\dfrac{2y^2}{x}$

$\Rightarrow 1-xy=(\dfrac{y^2}{x}-1)^2$

$\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\dfrac{y^2}{x}-1|$ là số hữu tỉ.

Mình có một bài tương tự như vậy bạn giúp mình nhé: Cho x,y là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn $x^{5}+y^{5}=2x^{3}y^{3}. Chứng minh rằng H=1-\frac{1}{xy}$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.


                    What doesn't kill you makes you stronger


#5 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 04-12-2013 - 19:29

Mình có một bài tương tự như vậy bạn giúp mình nhé: Cho x,y là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn $x^{5}+y^{5}=2x^{3}y^{3}. Chứng minh rằng H=1-\frac{1}{xy}$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

 

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

đây mình đã giải thêm $3$ cách. Bạn tham khảo thêm. Cái bài $x^{5}+y^{5}=2x^{3}y^{3}$ đấy cũng làm tương tự như cách của mình làm, và bài toán có thể tổng quát hóa được ... :D



#6 Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hương Lâm
  • Sở thích:nghe nhạc, học tiếng anh

Đã gửi 04-12-2013 - 19:31

Hôm nay đến lớp mình mới nghĩ ra cách làm. Mình làm giống cách thứ ba của bạn í. Dù sao cũng thank bạn nhé.


                    What doesn't kill you makes you stronger


#7 duc15042000

duc15042000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa Ngục
  • Sở thích:Thích xem phim, nghe nhạc, chơi game, và nhiều sở thích khác

Đã gửi 17-10-2014 - 15:29

Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức $x^3+y^3=2xy$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ 

Mình có bài gần giống, các bạn giải giúp mình với nhé

Thay $x^3+y^3=2xy$ bằng $x^{2}+y^{2}+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^{2}=2$ là đc


Không có việc gì khó

Chỉ sợ tiền không nhiều

Đào núi và lấp bể

Không làm được thì thuê.

:botay  :botay  :botay  :botay 

 


#8 tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Nguyễn Du, TP. Pleiku, Gia Lai.
  • Sở thích:Math & Girls.

Đã gửi 16-09-2017 - 14:22

$x^3 + y^3 = 2xy$

$\Leftrightarrow (x^3 + y^3)^2 = 4x^2y^2$

$\Leftrightarrow (x^3 - y^3)^2 = 4x^2y^2 - 4x^3y^3 = 4x^2y^2(1 - xy)$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 - xy} = |\frac{x^3 - y^3}{2xy}| \ \in \ Q$.


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#9 kuhaza

kuhaza

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:jeskrys jung

Đã gửi 27-09-2017 - 07:35

help me gấp $x^{5}+y^{5}=2x^{2}y^{2}$

cmr 1-xy là bình phương 1 số hữu tỉ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh