Chủ đề này có 7 trả lời

[string]

Các bác có thể giải thích giúp em hình học không giao hoán(noncommutative geometry) là gì ko?

[Kakalotta]

Mình có võ vẽ biết chút chút, nhưng chưa nhiều. Nói đơn giản, đó là việc nghiên cứu các tinh chất hình học của các đại số không giao hoán, sử dụng các ý tuởng của vật lý lý thuyết năng lượng cao.
Tuy nhiên, đây là một lãnh vực rất rộng nên không thể nào nói một vài câu là xong được, và cũng không có một khuôn mẫu chung cho nó.
Chỉ có thể cite out một số topic của nó mà thôi:
1-cyclic cohomology, KKtheory
2-quantization
3-quantum group and its representation
4-C*-algebra
5-algebroid
6-TQFT and string field theory
7- Algebra of DIff Oper on Algebraic Varỉety.
8 Deformation theory
...
Tuy n nhiên, hiểu biết của minh hạn hẹp nên không thể nói hết được.

[quantum-cohomology]

Cái này hay đấy, String có thể đặt ra câu hỏi cụ thể hơn không? String định làm gì trong noncommutative geometry? Nó có phải là chuyên ngành của String không?

[quantum-cohomology]

Ơ thế String mở ra topic này rồi không thèm quay lại để xem à? Ít nhất cũng lên tiếng 1 cái chứ?

[math_phd2010]

String thì không biết có theo hay không... nhưng có thể mình sẽ theo hướng này. Tuy nhiên, để lấy vài course lam nên tảng,và đọc vài quyển sách đã..
Thực ra, hôm qua, mình mới bị thầy dạy analysis cho mình dụ dỗ lấy C*-algebra trong học kì tới, hoặc lấy Reading course với thầy.
Mình cũng nghe Kaka nhắc nhiều lần về noncommutative Geometry, quantization...
Mình... đang bị "dụ dỗ"

[Kakalotta]

Nhảy vào đi, một trong những xu huớng chủ đạo của toán học hiện đại đấy. Noncommutative geometry là một ngành rất mới, xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1982 bởi Alain connes. Lãnh vực này có interaction với rất nhiều lãnh vực khác như vật lý năng lượng cao, lý thuyết biểu diễn, topo đại số, topo vi phân, lý thuyết dây và trường lượng tử topo, lý thuyết nhóm lượng tử, lượng tử hóa, hình học đại số không giao hoán, hình học gương đồng điều của Kontsevich, hình học Poisson, ....
Các đại gia trong ngành này thì có Kontsevich, drinfel, Connes, Vaughan Jones, Witten...

[quantum-cohomology]

mình thấy cyclic (co)homology hay đấy, bác math_PhD2010 làm 1 ít về nó đi.

[quantum-cohomology]

Vậy thì math_PhD2010 post lên đây ít kiến thức cơ bản của C*-đại số đi nhỉ? Cái này mình biết hoàn toàn abc, biết chỉ để biết, để xóa mù chữ, còn cụ thể thế nào thì mù tịt. Chỉ nhớ hồi phải học K-homology thì cũng đả động tới C*-đại số, nhưng bây giờ thì chữ thầy trả cho cô hết cả rồi. Nếu đợi 1 học kỳ nữa thì lâu quá, math_PhD2010 cứ đọc sách đến đâu post đến đấy, vừa nhanh vừa tiện, cho thêm mấy bài tập suy nghĩ nữa càng hay. Vật lý năng lượng cao cũng hay, mình cũng chỉ biết sơ sơ 1 vài kỹ thuật của trường lượng tử chứ cũng chả chuyên sâu gì, nói chung chỉ có 1 chút background thôi. Lý thuyết dây thì quá rộng, chỉ nắm đôi chút về Calabi Yau. Lý thuyết nhóm lượng tử thì mình mù hoàn toàn, đại khái chỉ biết đến đại số Hopf và phương trình Yang-Baxter chấm hết.
Lượng tử hóa thì mình biết khá hơn 1 chút, nhưng chắc cũng chưa đủ để làm được cái gì đó mới mẻ. Hình học gương đồng điều của Kontsevich thì đây là lần đầu mới nghe tới, hy vọng trong tương lai sẽ có thể tìm hiểu đôi chút gì đó về nó. Hình học Poisson thì chỉ biết thông qua hồi học cơ học lý thuyết, kiến thức vật lý thôi, chứ không dám nói tới toán học. Hình học đại số không giao hoán thì hay đấy. Trường lượng tử topo có lẽ chỉ biết đến đúng mỗi axioms của nó bằng ngôn ngữ của category và quantization functor.
Cyclic (co)-homology thì mình biết qua course về Hochschild (co)homology, đại khái là toàn học bằng ngôn ngữ của commutative algebra về đại số vi phân phân bậc ( differential graded algebra ), toàn tham khảo cuốn cyclic homology của Loday, chứ mình cũng không hiểu nó thâm nhập vào hình học không giao hoán của Connes như thế nào. Mặc dù mình đã đọc khá nhiều lần cuốn hình học không giao hoán của ông ta.
KK-Theory thì chắc là của Kasparov, nhưng mình chỉ biết tới K-homology của Baum, đại khái là xuất phát từ ý tưởng của đa tạp Spin. Còn KK-theory thì mình chưa đụng tới bao giờ.
Algebroid thì cũng đã nghe tới nhiều, có 1 lần có 1 seminar về Lie algebroid nhưng đọc xong nội dung sợ quá không dám tham gia báo cáo vì chả hiểu gì.
String field theory thì nghe nói là Atiyah hay Singer bảo rằng hiện nay chúng ta vẫn chưa có 1 lý thuyết thực sự về String field, mình nghe bập bõm rằng String field theory là 1 đối tượng toán học phức tạp hơn cả CFT (conformal field theory) cũng như TQFT ( topological quantum field theory)
Algebra of Differential operator on algebraic varieties thì mình lần đầu mới nghe tới, coi như không biết hoàn toàn.
Deformation theory, cái này hay đấy. Rất hay, đại khái mình cũng hiểu đôi chút ý tưởng của nó và tương tác của nó với lý thuyết đa tạp phức.
.....
Còn nhiều cái nữa mà mình chưa biết, hy vọng tương lai việt nam có hẳn cả 1 trường phái gồm các nhà toán học trẻ chuyên nghiên cứu hình học không giao hoán.