Chủ đề này có 4 trả lời

[phamduytien]

1.Cho a,b,c>0 thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$.

Chứng minh: $\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}\geq \sqrt{3}$

(Ba Lan, 2010)

2.Cho a,b,c > thoả mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

(Peru, 2007)

[nguyenqn1998]

1.Cho a,b,c>0 thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$.

Chứng minh: $\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}\geq \sqrt{3}$

(Ba Lan, 2010)

 

ta C/m: $\frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \geq \frac{\sqrt{3}a^4}{a^3+b^3+c^3}$(*)

$<=>\frac{1}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}\geq \frac{\sqrt{3}a}{a^3+b^3+c^3}$

$<=>(a^3+b^3+c^3)^2\geq 3a^2(b^4+b^2c^2+c^4)<=>a^6+b^6+c^6+2a^3b^3+2b^3c^3+2c^3a^3\geq 3a^2(b^4+b^2c^2+c^4)$

đúng do: $a^6+b^3c^3+b^3c^3\geq 3a^2b^2c^2, b^6+a^3b^3+a^3b^3 \geq 3a^2b^4, c^6+c^3a^3+c^3a^3 \geq 3a^2c^4$(AM-GM)

=>(*) đúng, lập các bất đẳng thức tương tự áp dụng giả thiết $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$ => dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 12-11-2013 - 17:34

[henry0905]

2.Cho a,b,c > thoả mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$ (1)

(Peru, 2007)

$3\sum \frac{1}{ab}\leq (\sum \frac{1}{a})^{2}\leq (a+b+c)^{2}$

$3+2\sum \frac{1}{ab}\leq 3+\frac{2}{3}(\sum \frac{1}{a})^{2}\leq 3+\frac{3}{2}(a+b+c)^{2}\leq (a+b+c)^{2}$

[nguyenqn1998]

2.Cho a,b,c > thoả mãn $$a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

(Peru, 2007)

xét: $abc\geq 1 => a+b+c \geq 3$

bất đẳng thức cần c/m tương đương: $(a+b+c)^{2}\geq 3+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

mà theo giả thiết : $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

=> $2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\le\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2}\le\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

ta cần c/m: $(a+b+c)^{2}\ge 3+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

<=> $a+b+c \geq 3$ (đúng)

xét $abc \leq 1$

bất đẳng thức cần c/m tương đương: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 2(a+b+c)+3abc$

ta cần c/m: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(ab+bc+ca)\ge 2(a+b+c)+3abc$

<=>$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq3a^2b^2c^2$

mà $3a^2b^2c^2=3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

=> dpcm

[CD13]

xét: $abc\geq 1 => a+b+c \geq 3$

bất đẳng thức cần c/m tương đương: $(a+b+c)^{2}\geq 3+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

mà theo giả thiết : $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

=> $2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\le\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2}\le\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

ta cần c/m: $(a+b+c)^{2}\ge 3+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

<=> $a+b+c \geq 3$ (đúng)

xét $abc \leq 1$

bất đẳng thức cần c/m tương đương: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 2(a+b+c)+3abc$

ta cần c/m: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(ab+bc+ca)\ge 2(a+b+c)+3abc$

<=>$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq3a^2b^2c^2$

mà $3a^2b^2c^2=3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

=> dpcm

Bài này nghĩ đâu cần xét $abc \ge 1,abc \le 1$ vì dù thế nào thì $a+b+c$ vẫn lớn hơn hoặc bằng $3$.