Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$
Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}$
#1
Đã gửi 12-11-2013 - 20:23
#2
Đã gửi 12-11-2013 - 20:47
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$
Ta có:
$\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{2x^2\sqrt{yz}}{yz}$
$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{2x^2}{\sqrt{yz}}\geq \sum \frac{4x^2}{y+z}$
$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{4x^2}{y+z}\geq \frac{(2x+2y+2z)^2}{2(x+y+z)}=2$
$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra $<=>x=y=z=\frac{1}{3}$
- Yagami Raito và datcoi961999 thích
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
#3
Đã gửi 13-11-2013 - 19:20
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$
Theo Schwarz ta có
$\dpi{100} \sum \frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}= \sum \frac{x^{2}}{\frac{yz}{y+z}}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum \frac{yz}{y+z}}$
Mặt khác ta lại có $\dpi{100} \sum \frac{yz}{y+z}\leq \sum \frac{y+z}{4}= \sum \frac{y}{2}$
Do đó $\dpi{100} VT\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum \frac{y}{2}}=2\sum x=2$
Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 17-11-2013 - 19:05
- datcoi961999 yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#4
Đã gửi 14-11-2013 - 22:25
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$
Ta có : $\frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \frac{4x^2(y+z)}{(y+z)^2}=\frac{4x^2}{(y+z)}$
Rồi áp dụng BĐT AM-GM
- Yagami Raito, dinhminhha, Vu Thuy Linh và 2 người khác yêu thích
Issac Newton
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cực trị
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min $P=\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c(a^{2}+b^{2})}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 25-01-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
GTNN của $A=a^{2}+2b^{2}+b$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 20-01-2024 cực trị |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
GTNN của biểu thức $A=x+\sqrt{x^{2}+\frac{8}{x}}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 19-01-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
tìm max của $P=-4a^{2}+36b-8$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 19-01-2024 cực trị |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh