Chủ đề này có 3 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$

[NMDuc98]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$

Ta có:

$\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{2x^2\sqrt{yz}}{yz}$

$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{2x^2}{\sqrt{yz}}\geq \sum \frac{4x^2}{y+z}$

$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{4x^2}{y+z}\geq \frac{(2x+2y+2z)^2}{2(x+y+z)}=2$

$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq 2$

Dấu "=" xảy ra $<=>x=y=z=\frac{1}{3}$

[Phuong Thu Quoc]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$

Theo Schwarz ta có 

$\dpi{100} \sum \frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}= \sum \frac{x^{2}}{\frac{yz}{y+z}}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum \frac{yz}{y+z}}$

Mặt khác ta lại có $\dpi{100} \sum \frac{yz}{y+z}\leq \sum \frac{y+z}{4}= \sum \frac{y}{2}$

Do đó $\dpi{100} VT\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum \frac{y}{2}}=2\sum x=2$

Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 17-11-2013 - 19:05

[Trang Luong]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$

Ta có : $\frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \frac{4x^2(y+z)}{(y+z)^2}=\frac{4x^2}{(y+z)}$

Rồi áp dụng BĐT AM-GM