Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR:
$A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$
Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR:
$A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$
Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR:
$A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$
Không mất tính tổng quát giả sử $0 \le c \le b \le a$
Theo Cauchy-Schwarz:
$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2+c^2(a^2+b^2)-abc(a+b)}$
Vì $0 \le c \le b \le a$ nên ta có:
Do đó:
$\frac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2+c^2(a^2+b^2)-abc(a+b)}\ge \frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$
và
$\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\ge 0$
Cộng vế theo vế ta có dpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$, $c=0$ và các hoán vị
Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$
Khi đó:
$\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}$ $+ \frac{b^{2}}{a^{2}-ac+c^{2}}$ $+ \frac{c^{2}}{b^{2}-ab+a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 2$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b, c=0 và các hoán vị.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh