Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR: 

                $A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR: 

                $A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$

Không mất tính tổng quát giả sử $0 \le c \le b \le a$
Theo Cauchy-Schwarz:

 

$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2+c^2(a^2+b^2)-abc(a+b)}$

 

Vì  $0 \le c \le b \le a$ nên ta có:

1. $ c(a+b)\ge 2c^2 \Rightarrow abc(a+b)\ge 2abc^2 \Rightarrow 0 \le 2a^2b^2+c^2(a^2+b^2)-abc(a+b)\le 2a^2b^2+c^2(a-b)^2$
2. $c^2(a-b)^2\le ab(a-b)^2 \Rightarrow 2a^2b^2+c^2(a^2+b^2)-abc(a+b)\le ab(a^2+b^2)$

Do đó:

$\frac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2+c^2(a^2+b^2)-abc(a+b)}\ge \frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$

và 

$\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\ge 0$

 

Cộng vế theo vế ta có dpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$, $c=0$ và các hoán vị

[tienthcsln]

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

Khi đó:    

       $\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}$ $+ \frac{b^{2}}{a^{2}-ac+c^{2}}$ $+ \frac{c^{2}}{b^{2}-ab+a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 2$ (đpcm)

 Dấu "=" xảy ra khi a=b, c=0 và các hoán vị.