Chủ đề này có 3 trả lời

[Zeaynzs]

Giúp giùm mình 2 bài toán lớp 8 này với.

 

a) Tính giá trị của $A=a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}$ khi $a^{3}+b^{3}+c^{3}=a+b+c=0$

 

b)CM rằng nếu $x+y=a+b$ và $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$ thì $x^{n}+y^{n}=a^{n}+b^{n}$ ($n\in \mathbb{N}$*)

[kfcchicken98]

dạng bài này thì cứ quy nap là ra hết bạn ạ
ví dụ : câu b

Giả sử đúng đến n,  ta sẽ chứng minh nó đúng với n+1, tức là CM $x^{n+1}+y^{n+1}= a^{n+1}+b^{n+1}$

có  $(x^{n}+y^{n})(x+y)=(a^{n}+b^{n})(a+b)$

tương đương $x^{n+1}+xy^{n}+yx^{n}+y^{n+1}= a^{n+1}+ab^{n}+ba^{n}+b^{n+1}$

suy ra $x^{n+1}+y^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}= ab(b^{n-1}+a^{n-1})-xy(y^{n-1}+x^{n-1})$
do $x+y=a+b; x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$
suy ra $xy=ab$, và theo giả sử, ta có $x^{n-1}+y^{n-1}=a^{n-1}+b^{n-1}$

suy ra $x^{n+1}+y^{n+1}-a^{n+1}-b^{n+1}=0$

suy ra $x^{n+1}+y^{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 13-11-2013 - 07:38

[kfcchicken98]

bài 1 bạn có thể dùng quy nạp như mình làm ở trên, hoặc giải như sau

$(a+b+c)^{3}=a^{^{3}}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$=0=$a^{^{3}}+b^{3}+c^{3}$

suy ra $(a+b)(b+c)(c+a)=0$, suy ra a=-b; b=-c, hoặc c=-a (1)

bạn thay lần lượt (1) vào $a+b+c=0$ suy ra: khi a=-b thì c=0; khi b=-c thì a=0; khi c=-a thì b=0

thay lần lượt vào $a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=0$

 

[pluswith]

Nếu bạn nào chưa quen với quy nạp có thể làm như sau:

Bài 2 : Từ điều kiện bài toán suy ra $(x+y)^2=(a+b)^2$

kết hợp với điều kiện $x^2+y^2=a^2+b^2$ suy ra $xy=ab$.

Ta có $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2-(x+y)x+xy=0$.

Do đó $x=a$ hoặc $x=b$.

Với $x=a$ thì từ điều kiện suy ra $y=b$ nên $x^n+y^n=a^n+b^n$ $n \in N*$ 

Với $x=b$ thì cũng từ đk suy ra $y=a$ nên $x^n+y^n=a^n+b^n$  $n\in N*$.

Vậy ta có đpcm.