Chủ đề này có 3 trả lời

[thukilop]

$\boxed{\text{Problem}}$

Cho (a,b)=1. Gọi n là số đẹp nếu tồn tại x,y thuộc N* sao cho $n=ax+by$. Trái lại là xấu

a) Chứng minh $n=ab$ là số xấu lớn nhất

b) Giả sử $n\in I[a+b,ab]$, chứng minh n là số đẹp <=> $ab+a+b-n$ là số xấu. Từ đó hãy tìm công thức liên hệ tìm số xấu theo a,b

[nam8298]

1:   dễ chứng minh ab là số xấu

giả sử tồn tại số xấu > ab

xét hệ H {1,2,.....,b} là hệ thặng dư đầy đủ thì {a,2a,.......ab} là hệ thặng dư đầy đủ

suy ra tòn tại x thỏa mãn ax đồng dư với n theo mod b hay n-ax =by (y là số nguyên)

do n>ab nên n-ax >n-ab >0 suy ra by > o

suy ra đpcm

[thukilop]

1:   dễ chứng minh ab là số xấu

giả sử tồn tại số xấu > ab

xét hệ H {1,2,.....,b} là hệ thặng dư đầy đủ thì {a,2a,.......ab} là hệ thặng dư đầy đủ

suy ra tòn tại x thỏa mãn ax đồng dư với n theo mod b hay n-ax =by (y là số nguyên)

do n>ab nên n-ax >n-ab >0 suy ra by > o

suy ra đpcm

Câu a) còn có thể giải quyết như sau:

Dễ chứng minh ab là số xấu, giờ chỉ cần chứng minh với mọi $n>ab$ là số đẹp (giống tư tưởng của bạn)  

-- Xét $n>ab$ => $ab<ab+1<ab+2<ab+3<...<ab+m$ 

Giả sử pt $n=ax+by$ có nghiệm với $n=ab+m$ ($m\in N^{*}$)

 

=> $ab+m=ax+by$

 

<=> $a(b-x)+(by-m)=0$

 

--Cho $y=1$ thì $a(b-x)+(b-m)=0$

 

=> $\left\{\begin{matrix}b-x=0 & \\ b-m=0 & \end{matrix}\right.$

 

<=> $x=m\in N^{*}$

 

 Vậy có tồn tại x,y thuộc N* để pt $ax+by=n>ab$ có nghiệm ( chẳng hạn $(x,y)=(m,1)$) => $n>ab$ là số đẹp => Q.E.D

[thukilop]

(hết time sửa bài trên rồi nên đành viết tiếp)

$\boxed{\text{Other Solution a}}$

 

*Ta chứng minh $n>ab$ là số đẹp

 

-- Giả sử $n=ax+by$ có nghiệm $x_{0},y_{0}$ 

 

=> $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+b.t & \\ y=y_{0}-a.t & \end{matrix}\right.$

 

--Ta sẽ chỉ ra rằng khi $n>ab$ thì sẽ tồn tại t thỏa pt

+ Thật vậy:

từ hệ => $\frac{-x_{0}}{b}\leq t\leq \frac{y_{0}}{a}$

mà $\frac{y_{0}}{a}-\left ( \frac{-x_{0}}{b} \right )=\frac{y_{0}}{a}+\frac{x_{0}}{b}=\frac{by_{0}+ax_{0}}{ab}=\frac{n}{ab}> 1$

=> tồn tại $t\in \left [ \frac{-x_{0}}{b};\frac{y_{0}}{a} \right ]$ thỏa pt