Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng $(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2} \forall n\geq1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 thanhgaubong

thanhgaubong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 14-11-2013 - 20:42

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

 



#2 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 14-11-2013 - 21:16

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{n}(x+1)^{n}=(x+1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^{n-k} \right)$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i x^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra $Q.E.D$


Link

 


#3 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 14-11-2013 - 21:17

Đây là trường hợp riêng của bài toán chứng minh $C_{m+n}^{p}=C_{n}^{0}C_{m}^{p}+C_{n}^{1}C_{m}^{p-1}+...+C_{n}^{p}C_{m}^{0}$ với $ m,n,p$ nguyên dương và $ p\leq m,n$. Bài toán trên có được khi cho m=n=p

Ta đi chứng minh bài toán tổng quát

Xét khai triển

$ \left ( 1+x \right )^{m+n}=\sum_{p=0}^{m+n}C_{m+n}^{p}x^{p}$

Mặt khác $ \left ( 1+x \right )^{m+n}=\left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )^{m}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}.\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}x^{k}=\sum_{p=0}^{m+n}\left ( \sum_{k=0}^{p} C_{n}^{k}C_{m}^{p-k}x^{p}\right )$

Đồng nhất các hệ số ta được đpcm.

 

*Bằng phép chứng minh tương tự và khai triển $ \left ( 1-x \right )^{m+n}$, trong trường hợp đặc biệt ta có

$ \left ( C_{2n}^{0} \right )^{2}-\left ( C_{2n}^{1} \right )^{2}+...+\left ( C_{2n}^{2n} \right )^{2}=\left ( -1 \right )^{n}C_{2n}^{n}$

 

 

***Sau N H Tu prince vài giây!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 14-11-2013 - 21:20

Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh