Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhgaubong]

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

 

[N H Tu prince]

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{n}(x+1)^{n}=(x+1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^{n-k} \right)$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i x^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra $Q.E.D$

[Phuong Thu Quoc]

Đây là trường hợp riêng của bài toán chứng minh $C_{m+n}^{p}=C_{n}^{0}C_{m}^{p}+C_{n}^{1}C_{m}^{p-1}+...+C_{n}^{p}C_{m}^{0}$ với $ m,n,p$ nguyên dương và $ p\leq m,n$. Bài toán trên có được khi cho m=n=p

Ta đi chứng minh bài toán tổng quát

Xét khai triển

$ \left ( 1+x \right )^{m+n}=\sum_{p=0}^{m+n}C_{m+n}^{p}x^{p}$

Mặt khác $ \left ( 1+x \right )^{m+n}=\left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )^{m}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}.\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}x^{k}=\sum_{p=0}^{m+n}\left ( \sum_{k=0}^{p} C_{n}^{k}C_{m}^{p-k}x^{p}\right )$

Đồng nhất các hệ số ta được đpcm.

 

*Bằng phép chứng minh tương tự và khai triển $ \left ( 1-x \right )^{m+n}$, trong trường hợp đặc biệt ta có

$ \left ( C_{2n}^{0} \right )^{2}-\left ( C_{2n}^{1} \right )^{2}+...+\left ( C_{2n}^{2n} \right )^{2}=\left ( -1 \right )^{n}C_{2n}^{n}$

 

 

***Sau N H Tu prince vài giây!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 14-11-2013 - 21:20