Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tìm xác suất để 100 khán giả xem phim không ai ngồi đúng chỗ của mình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 dinhtiennguyenbk

dinhtiennguyenbk

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 16-11-2013 - 13:37

Trong phòng rạp có 100 chỗ ngồi và tất cả các vé đã được bán hết (mỗi vé được đánh số thứ tự tương ứng với số chỗ ngồi của phòng rạp).Tìm xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình



#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 21-03-2016 - 12:45

Cùng một dạng người ngồi vào chỗ nhưng với câu hỏi khác. :)

 

http://diendantoanho...g-ghế-của-mình/


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3768 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 21-03-2016 - 13:07

Mỗi phần tử của không gian mẫu là một hoán vị của 100. Do đó:

$$n( \Omega ) = 100!$$

 

Gọi $A$ là biến cố không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình

 

Mỗi khả năng thuận lợi cho $A$ là một hoán vị không bất động của 100. Ta có:

$$n(A) = \left \lfloor \frac{100!+1}{e} \right \rfloor $$ 

(Xem chứng minh tại đây)

 

Do đó, xác suất cần tìm là:

$$P(A) = \frac{\left \lfloor \frac{100!+1}{e} \right \rfloor}{100!}$$

 

Vì 

$$\lim_{n \to + \infty} \frac{\left \lfloor n!+1 \right \rfloor}{e.n!} = \frac{1}{e}$$

 

Nên $P(A) \approx \frac{1}{e}$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1413 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 22-03-2016 - 23:12

Trong phòng rạp có 100 chỗ ngồi và tất cả các vé đã được bán hết (mỗi vé được đánh số thứ tự tương ứng với số chỗ ngồi của phòng rạp).Tìm xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình

Gọi $A$ là biến cố không có khán giả nào ngồi đúng số ghế của mình.

Ta thử tính $n(A)$ :

+ Đầu tiên lấy số cách xếp ngẫu nhiên $100$ khán giả vào $100$ ghế ---> $100!$

+ Trừ đi các cách có ít nhất $1$ người ngồi đúng số ghế ---> $-C_{100}^1.(100-1)!=-\frac{100!}{1!}$

+ Nhưng trừ như vậy thì các cách có ít nhất $2$ người ngồi đúng số ghế bị trừ đến $2$ lần nên phải cộng lại số này ---> $+C_{100}^2.(100-2)!=+\frac{100!}{2!}$

+ Nhưng cộng như vậy thì các cách có ít nhất $3$ người ngồi đúng số ghế lại chưa bị trừ nên phải trừ lại số này ---> $-C_{100}^3.(100-3)!=-\frac{100!}{3!}$

+ .............................................................

+ .............................................................

+ Cuối cùng ta có $n(A)=100!\left (1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...-\frac{1}{99!}+\frac{1}{100!} \right )$

  $\Rightarrow P(A)=\left (1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...-\frac{1}{99!}+\frac{1}{100!} \right )$ (*)

  Biểu thức trên khiến ta nghĩ đến khai triển Maclorin của $e^{-1}$

  Thực vậy, xét hàm $f(x)=e^{-x}$.

  Đạo hàm cấp $n$ của $f(x)$ là $e^{-x}$ nếu $n$ chẵn ; là $-e^{-x}$ nếu $n$ lẻ

  $f^{(n)}(0)$ bằng $1$ nếu $n$ chẵn ; bằng $-1$ nếu $n$ lẻ

  $\Rightarrow e^{-x}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+...$ (vô tận)

  $\Rightarrow e^{-1}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...$ (vô tận)

 

Nếu ta lấy xấp xỉ $P(A)\approx e^{-1}$ thì sai số không quá $\frac{e^c}{101!}$ (với $c$ nằm giữa $0$ và $1$)

Mà $\frac{e^c}{101!}< \frac{e}{101!}< 0,3.10^{-159}<10^{-159}$

Vậy ta có : $P(A)\approx e^{-1}$ (sai số nhỏ hơn $10^{-159}$)

                  $e^{-1}\approx 0,367879441$ (sai số nhỏ hơn $10^{-9}$)

$\Rightarrow P(A)\approx 0,367879441$ (sai số nhỏ hơn $10^{-9}$)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Đã gửi 24-03-2016 - 08:25

Gọi $A$ là biến cố không có khán giả nào ngồi đúng số ghế của mình.

Ta thử tính $n(A)$ :

+ Đầu tiên lấy số cách xếp ngẫu nhiên $100$ khán giả vào $100$ ghế ---> $100!$

+ Trừ đi các cách có ít nhất $1$ người ngồi đúng số ghế ---> $-C_{100}^1.(100-1)!=-\frac{100!}{1!}$

+ Nhưng trừ như vậy thì các cách có ít nhất $2$ người ngồi đúng số ghế bị trừ đến $2$ lần nên phải cộng lại số này ---> $+C_{100}^2.(100-2)!=+\frac{100!}{2!}$

+ Nhưng cộng như vậy thì các cách có ít nhất $3$ người ngồi đúng số ghế lại chưa bị trừ nên phải trừ lại số này ---> $-C_{100}^3.(100-3)!=-\frac{100!}{3!}$

+ .............................................................

+ .............................................................

+ Cuối cùng ta có $n(A)=100!\left (1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...-\frac{1}{99!}+\frac{1}{100!} \right )$

  $\Rightarrow P(A)=\left (1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...-\frac{1}{99!}+\frac{1}{100!} \right )$ (*)

  Biểu thức trên khiến ta nghĩ đến khai triển Maclorin của $e^{-1}$

  Thực vậy, xét hàm $f(x)=e^{-x}$.

  Đạo hàm cấp $n$ của $f(x)$ là $e^{-x}$ nếu $n$ chẵn ; là $-e^{-x}$ nếu $n$ lẻ

  $f^{(n)}(0)$ bằng $1$ nếu $n$ chẵn ; bằng $-1$ nếu $n$ lẻ

  $\Rightarrow e^{-x}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+...$ (vô tận)

  $\Rightarrow e^{-1}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...$ (vô tận)

 

Nếu ta lấy xấp xỉ $P(A)\approx e^{-1}$ thì sai số không quá $\frac{e^c}{101!}$ (với $c$ nằm giữa $0$ và $1$)

Mà $\frac{e^c}{101!}< \frac{e}{101!}< 0,3.10^{-159}<10^{-159}$

Vậy ta có : $P(A)\approx e^{-1}$ (sai số nhỏ hơn $10^{-159}$)

                  $e^{-1}\approx 0,367879441$ (sai số nhỏ hơn $10^{-9}$)

$\Rightarrow P(A)\approx 0,367879441$ (sai số nhỏ hơn $10^{-9}$)

Bài toán này chỉ là cách phát biểu khác của bài toán gốc đã có từ lâu và khá nổi tiếng (Nổi tiếng vì xác suất của nó (cũng như lời giải không đơn giản vì chúng ta cần biết đến nguyên lý bù trừ) dần đến $\frac{1}{e}$) và cách giải trên khá ấn tượng khi nó xuất phát từ cách đếm tập hợp thông qua nguyên lý bù trừ

Bài toán bỏ thư : n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào các phong bì. Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nào bỏ đúng địa chỉ là bao nhiêu?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 24-03-2016 - 08:28





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh