Chủ đề này có 2 trả lời

[universe]

Giải phương trình trong tập số nguyên: $x^{3}-13xy+y^{3}=13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 17-11-2013 - 12:05

[Hoang Tung 126]

Ta có :$x^3+y^3-13xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)-13xy=13< = > (x+y)\left [ (x+y)^2-3xy \right ]-13xy=13$

Đặt $x+y=a,xy=b$. PT $< = > a(a^2-3b)-13b=13< = > a^3-b(3a+13)=13< = > b(3a+13)=13-a^3< = > b=\frac{13-a^3}{3a+13}$

Do b là số nguyên nên $13-a^3\vdots 3a+13< = > 39-3a^3\vdots 3a+13< = > -a^2(3a+13)+13a^2+39\vdots 3a+13< = > 13a^2+39\vdots 3a+13$

Đến đây rú ẩn là xomg

[Rias Gremory]

Giải phương trình trong tập số nguyên: $x^{3}-13xy+y^{3}=13$

Đặt $S=x+y,T=xy$ . Ta có 

$S^{3}-3ST-13T=13$

$27T=\frac{27S^{3}-13.27}{3S+13}=-9S^{2}-39S+164-\frac{13^{3}-13.27}{3S+13}$

$\Rightarrow 3S+13$$\Rightarrow 3S+13$ $\epsilon U'(2548)=13.196$

Mà $S^{2}-4T=(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow S^{2}-4\frac{S^{3}-13}{3S+13}=\frac{3S^{3}+13S^{2}-4S^{3}++52}{3S+13}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{S^{2}(13-S)+52}{3S+13}\geq 0$

Giải ra ta có $S\leq 13$ hoặc $S\geq -4$