Chủ đề này có 2 trả lời

[KyleSweater99]

 

Cho x,y,x>0;x+y+z=1,Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[NMDuc98]

 

Cho x,y,x>0;x+y+z=1,Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

 

 

Ta có:

$a^2+b^2\geq 2ab<=>a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$

Dâu $"="$ xảy ra $<=>a=b$

Ta cũng có:

$\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=x-y$

Tương tự:

$\frac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}=y-z$

$\frac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=z-x$

 

$A=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

$<=>A=\frac{1}{2}\left [\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+x-y+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+y-z+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}+z-x\right ]$

$<=>A=\frac{1}{2}\left [\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\right ]$

$=>A\geq \frac{1}{4}\left [\frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{(y^2+z^2)^2}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{(z^2+x^2)^2}{(z^2+x^2)(z+x)}\right ]$

$<=>A\geq \frac{1}{4}\left [\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right ]$

$=>A\geq \frac{1}{8}\left [\frac{(x+y)^2}{x+y}+\frac{(y+z)^2}{y+z}+\frac{(z+x)^2}{z+x}\right ]$

$<=>A\geq \frac{1}{8}\left (x+y+y+z+z+x \right)$

$<=>A\geq \frac{1}{4}\left (x+y+z \right)$

$<=>A\geq \frac{1}{4}$

Dấu $ "="$ xảy ra $<=>x=y=x= \frac{1}{3}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 17-11-2013 - 21:10

[buiminhhieu]

Ta có:

$a^2+b^2\geq 2ab<=>a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$

Dâu $"="$ xảy ra $<=>a=b$

Ta cũng có:

$\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=x-y$

Tương tự:

$\frac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}=y-z$

$\frac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=z-x$

 

$A=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

$<=>A=\frac{1}{2}\left [\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+x-y+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+y-z+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}+z-x\right ]$

$<=>A=\frac{1}{2}\left [\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\right ]$

$=>A\geq \frac{1}{4}\left [\frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{(y^2+z^2)^2}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{(z^2+x^2)^2}{(z^2+x^2)(z+x)}\right ]$

$<=>A\geq \frac{1}{4}\left [\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right ]$

$=>A\geq \frac{1}{8}\left [\frac{(x+y)^2}{x+y}+\frac{(y+z)^2}{y+z}+\frac{(z+x)^2}{z+x}\right ]$

$<=>A\geq \frac{1}{8}\left (x+y+y+z+z+x \right)$

$<=>A\geq \frac{1}{4}\left (x+y+z \right)$

$<=>A\geq \frac{1}{4}$

Dấu $ "="$ xảy ra $<=>x=y=x= \frac{1}{3}$ 

cân gì phải dài thế 

 

 

Cho x,y,x>0;x+y+z=1,Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

Xét $B=\sum \frac{y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

dễ thấy A=B(xét hiệu)

$\Rightarrow 2A=\sum \frac{x^{4}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}}{4(x^{2}+y^{2})(x+y)}=\sum \frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$