KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2013
____________________________________
Bài 1: Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 & & \\ (1-x)(1+y)=2& & \end{matrix}\right.$$
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu $a,b,c,d$ là bốn nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$
Bài 3: Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương.
Chứng minh rằng: Nếu $ab(5a^2+5b^2-2)$ chia hết cho $5ab-1$ thì $a=b$
Bài 4: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau:$$x_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}},n\in\mathbb{N^*}$$
$a.$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ nguyên
$b.$ Xác định $n$ để $x_n$ chia hết cho $3$
Bài 5:
$a.$ Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Gọi $(O)$ là đường tròn đi qua hai điểm $A,C$ ($AC$ không phải là đường kính). Hai tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $P$, $PB$ cắt $(O)$ tại $Q$. Phân giác của góc $AQC$ cắt $AC$ tại $R$.
Chứng minh rằng: $\frac{AB}{BC}=\frac{AR^2}{RC^2}$
$b.$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.Giao điểm của $AI$ với $BC$ và $(O)$ lần lượt là $D,A_1$ ($A_1\ne A$)
Chứng minh rằng: $\frac{IA_1}{DA_1}=\frac{AB+AC}{BC}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 18-11-2013 - 12:34