Chủ đề này có 4 trả lời

[mbrandm]

Thi giải toán chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11

Năm học: 2013-2014

Đề bài:

Bài 1:

Cho x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình sau: $x^{2}-5x+3=0$.

Tìm các giá trị của $A=\left | x_{1}-2 \right |-\sqrt{x_{2}+1}$

Bài 2:

Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

Bài 3:

Chứng minh bất đẳng thức sau: $\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+2yz+5z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+2zx+5x^{2}}\geq 3\sqrt{3}$ $\forall x,y,z\in \mathbb{R}$

Bài 4:

Tìm các hàm số f thoả: $f\left ( x-2y+3 \right )-y^{2}=2f\left ( x+y+1 \right )+f\left ( y-2x \right )$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 5:

Chứng tỏ rằng nếu n là số tự nhiên có đúng 2013 ước số tự nhiên thì n là số chính phương.

Bài 6:

Cho bảy điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn, chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có một góc nhỏ hơn 27^o, tam giác ấy có ba đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho.

Bài 7: Cho đa giác đều A₁A₂...A₂₀₁₂A₂₀₁₃, điểm M nằm ở miền trong đa giác, điểm N nằm ngoài đa giác. Đặt $\sum_{i=1}^{2013}\overrightarrow{MA_{i}}=\overrightarrow{a}; \sum_{i=1}^{2013}\overrightarrow{NA_{i}}= \overrightarrow{b}$. Liệu có tồn tại điểm M, N nào thỏa mãn $\left | \overrightarrow{a} \right |> \left | \overrightarrow{b} \right |$. Nếu có hãy chỉ ra các điểm M,N ấy.

Đề đến đó thôi, mình giải khá gọn, bạn nào có lời giải càng gọn càng tốt nha. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mbrandm: 18-11-2013 - 13:58

[Hoang Tung 126]

Bài 3:Bạn thiếu điều kiện $x+y+z=\sqrt{3}$

Ta có :$\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=\sqrt{(x-y)^2+(x+2y)^2}\geq \sqrt{(x+2y)^2}=x+2y$

Thiết lập các bdt tương tự rồi cộng lại ta thu được $\sum \sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\geq 3(x+y+z)=3\sqrt{3}$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[mbrandm]

Đúng là mình thiếu, đánh sao sót mất điều kiện $xy+yz+zx=1$. Cảm ơn

[Hoang Tung 126]

Bài 2: PT $< = > \sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}=3x-5> 0< = > x> \frac{5}{3}$

Sử dụng nhân liên hợp ta có :PT $< = > (\sqrt{x^2+12}-4)-(\sqrt{x^2+5}-3)-3(x-2)=0< = > (x-2)(\frac{x+2}{4+\sqrt{x^2+12}}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3)=0$

Do $x> \frac{5}{3}= > x+2> 0,\frac{1}{4+\sqrt{x^2+12}}< \frac{1}{3+\sqrt{x^2+5}}= > \frac{x+2}{4+\sqrt{x^2+12}}< \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+2}= > \frac{x+2}{4+\sqrt{x^2+12}}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3< 0$

$= > x-2=0= > x=2$

[Huuduc921996]

Câu 2:

$\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}(1)\\\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+12}-4=3(x-2)+\sqrt{x^{2}+5}-3\\\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+ \frac{x^2-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3}\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2 \\ \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}=3+\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}(2) \end{matrix}\right.$

 

Đánh giá:

$(1)\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x^2+12}+\sqrt{x^2+5}}+5=3x$

$\Rightarrow$ Dk để pt có nghiệm là x>0

Vì $\sqrt{x^2+12}+4> \sqrt{x^2+5}+3$

nên pt (2) vô nghiệm

Vậy.....