Chủ đề này có 1 trả lời

[kevotinh2802]

Cho các số thực x,y thỏa mãn : $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN-GTNN của $T=2\left ( x^3+y^3 \right )-3xy$.

[25 minutes]

Cho các số thực x,y thỏa mãn : $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN-GTNN của $T=2\left ( x^3+y^3 \right )-3xy$.

Ta có $T=2\left [ (x+y)^3-3xy(x+y) \right ]-3xy$

Đặt $x+y=a, xy=b$, từ giả thiết ta có $a^2-2b=2$ và $T=2a^3-9b$

              $\Rightarrow T=2a^3-6a.\frac{a^2-2}{2}-3.\frac{a^2-2}{2}=-a^3-\frac{3a^2}{2}+6a+3=f(a)$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có $2=a^2+b^2\geqslant \frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow -2 \leqslant x+y \leqslant 2\Rightarrow a \in \left [ -2;2 \right ]$

Xét $f(a)=-a^3-\frac{3a^2}{2}+6a+3$

        $\Rightarrow f'(a)=-a^2-3a+6=0\Leftrightarrow a=1,a=-2$

Lập bảng biến thiên của $f(a)$ ta thấy 

                               $\left\{\begin{matrix} f(a) \geqslant f(-2)=-7\\ f(a) \leqslant f(1)=\frac{13}{2} \end{matrix}\right.$

GTNN đạt được khi $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\\x+y=-2 \end{matrix}\right.$

GTLN đạt được khi $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\\x+y=1 \end{matrix}\right.$