Chủ đề này có 4 trả lời

[hand of god]

Cho $x,y,z> 0$.Chứng minh

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz\left ( x+y+z \right ) \geq xy\left ( x^{2}+y^{2} \right ) +yz(y^{2}+z^{2})+zx(z^{2}+x^{2})$

[nguyenqn1998]

Cho $x,y,z> 0$.Chứng minh

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz\left ( x+y+z \right ) \geq xy\left ( x^{2}+y^{2} \right ) +yz(y^{2}+z^{2})+zx(z^{2}+x^{2})$

Đây là bất đẳng thức schur

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz\left ( x+y+z \right ) \geq xy\left ( x^{2}+y^{2} \right ) +yz(y^{2}+z^{2})+zx(z^{2}+x^{2})$

$<=>a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0$

giả sử $a\geq b \geq c$

$=>c^2(c-a)(c-b)\geq0$

$a^2(a-c)-b^2(b-c)=(a^3-b^3)+c(a^2-b^2)\geq0 => a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)\geq0$

[hoctrocuanewton]

Đây là bất đẳng thức schur

$x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz\left ( x+y+z \right ) \geq xy\left ( x^{2}+y^{2} \right ) +yz(y^{2}+z^{2})+zx(z^{2}+x^{2})$

$<=>a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0$

giả sử $a\geq b \geq c$

$=>c^2(c-a)(c-b)\geq0$

$a^2(a-c)-b^2(b-c)=(a^3-b^3)+c(a^2-b^2)\geq0 => a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)\geq0$

chỗ này mình không hiểu lắm

bđt schur phải là

$\sum a^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum a^{3}(b+c)$

[nguyenqn1998]

chỗ này mình không hiểu lắm

bđt schur phải là

$\sum a^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum a^{3}(b+c)$

nè bạn: $a^3(b+c)+b^3(a+c)+c^3(a+b)=ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

[hoctrocuanewton]

à , mình hiểu rồi , cảm ơn bạn