Chủ đề này có 6 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Tìm GTLN,GTNN Của $A=x^3+y^3$ biết x,y dương và $x^2+y^2=1$

[letankhang]

Tìm GTLN,GTNN Của $A=x^3+y^3$ biết x,y dương và $x^2+y^2=1$

Ta có :

$x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow 0\leq \left | x \right |;\left | y \right |\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$x^{3}+x^{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\geq 3\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}$

Tương tự : $y^{3}+y^{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\geq 3\frac{y^{2}}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow 2(x^{3}+y^{3})+\frac{1}{\sqrt{2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy :

$\left\{\begin{matrix} A_{min}=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0;y=1 & \\ x=1;y=0 & \end{bmatrix} & \\ A_{max}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 18-11-2013 - 20:59

[laiducthang98]

Tìm Min trước  

Ta có : $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2 <=>(x+y)^2\leq 2 <=> x+y\leq \sqrt{2}$

Lại có : $1=(x^2+y^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3})\leq (x+y)(x^3+y^3)\leq \sqrt{2}(x^3+y^3)=> x^3+y^3\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

[laiducthang98]

Chém nốt câu Max  

Vì $x^2+y^2=1 => x\leq 1 <=> x-1\leq 0 =>x^2(x-1)\leq 0$

Tương tự có $y^2(y-1)\leq 0$

=> $x^2(x-1)+y^2(y-1)\leq 0$ <=> $x^3+y^3\geq 1$

[zzhanamjchjzz]

chỗ tìm max đó bạn 

laiducthang98

 

Giải thích rõ dùm minh được không tại sao $x\leq 1$ vậy

[zzhanamjchjzz]

chỗ tìm max đó bạn 

laiducthang98

 

Giải thích rõ dùm minh được không tại sao $x\leq 1$ vậy

tại x,y =?

[nghiemthanhbach]

chỗ tìm max đó bạn 

laiducthang98

 

Giải thích rõ dùm minh được không tại sao $x\leq 1$ vậy

Vì:

$a^2+b^2=1$ mà ta thấy 2 phần tử đều là dương vậy chắc chắn chỉ tồn tại nếu chúng đều bé hơn hoặc bằng $1$ thôi, số thực mà =)