Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho các số thực dương $a,b,c$. thỏa mãn : $abc+a+b=3ab$. Chứng minh rằng : $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ac+c+1}}\geq \sqrt{3}$

[KyleSweater99]

Cho các số thực dương $a,b,c$. thỏa mãn : $abc+a+b=3ab$. Chứng minh rằng : $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ac+c+1}}\geq \sqrt{3}$

Từ giả thiết suy ra $c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$.Gọi biểu thức ban đầu là A.

Biến đổi biểu thức ban đầu thành   $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}\geq \frac{9}{\sqrt{...}+\sqrt{...}+\sqrt{...}}$

Gọi biểu thứ dưới mẫu là S

Theo BĐT Bunhiacopxki, $S^{2}\leq 3(6+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+\frac{1}{ab})=3(6+c(3-c)+\frac{1}{ab})$

Mà $\frac{1}{ab}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}=\frac{(3-c)^{2}}{4}$

Suy ra $S^{2}\leq 3(6+c(3-c)+\frac{(3-c)^{2}}{4})=\frac{-3(c-1)^{2}}{4}+27\leq 27$

Suy ra $S\leq 3\sqrt{3} \Rightarrow A\geq \frac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

[NTPS2CBC]

Mình xin thử coi sao

$\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ac+c+1}} =\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}}}+\sqrt{\frac{1}{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{1}{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}$

Mà

$abc+a+b=3ab\Leftrightarrow c+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$ Do a,b,c dương

Đặt $d=\frac{1}{a}$, $e=\frac{1}{b}$, ta phải chứng minh:

$\sqrt{\frac{1}{c+d+cd}}+\sqrt{\frac{1}{d+e+de}}+\sqrt{\frac{1}{c+e+ce}}\geqslant \sqrt{3}$

$\sqrt{\frac{1}{c+d+cd}}+\sqrt{\frac{1}{d+e+de}}+\sqrt{\frac{1}{c+e+ce}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}}}=3\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}}}$

$\sqrt[3]{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}\leqslant\frac{2c+2d+2e+cd+ce+de}{3}\leqslant \frac{6+cd+ce+de}{3}\leqslant \frac{6+\frac{(c+d+e)^{2}}{3}}{3}\leqslant \frac{9}{3}=3$

Suy ra

$3\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}}}\geqslant 3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$

Cách mình có vẻ hơi dài. Có gì mọi người thông cảm nha