Chủ đề này có 1 trả lời

[Juliel]

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$, kẻ $DP,DQ$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao của $(BE,DP),(CF,DQ)$. Gọi $I$ là giao điểm của $BE,PN$, $K$ là giao điểm của $FC,QM$. Chứng minh $IK\parallel PQ$

 

[nhatquangsin]

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$, kẻ $DP,DQ$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao của $(BE,DP),(CF,DQ)$. Gọi $I$ là giao điểm của $BE,PN$, $K$ là giao điểm của $FC,QM$. Chứng minh $IK\parallel PQ$

 

Đầu tiên ta thấy $HMDN$ là hình bình hành.($H$ là trọng tâm tam giác $ABC$)

Từ các cặp tam giác đồng dạng ta có $\frac{HI}{IM}=\frac{HN}{PM}=\frac{MD}{PM}=\frac{HC}{HF}$

Tương tự ta có $\frac{HK}{KN}=\frac{HB}{HE}$

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $HMDN$. Giả sử hình bình hành $HMDN$ định hướng dương, xét phép quay tâm $O$ góc quay $\pi$. $R^{\pi }_{O}: P\mapsto P';Q \mapsto Q';M \mapsto N;N \mapsto M;D \mapsto H;H \mapsto D$

Vì $\frac{DM}{MP}=\frac{HC}{HF};\frac{DN}{NQ}=\frac{HB}{HE}$ nên $\frac{HN}{NP'}=\frac{HC}{HF};\frac{HM}{MQ'}=\frac{HB}{HE}$

$\Rightarrow \frac{HI}{HQ'}=\frac{HK}{HP'}\Rightarrow IK\parallel P'Q'$

Mà $P'Q'$ là ảnh của $PQ$ qua phép quay $\pi$ nên $PQ\parallel P'Q'$

Vậy $IK\parallel PQ$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 24-11-2013 - 01:36