Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 

$$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 

$$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$

từ gt

$\frac{2}{3}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{7}{10}$

giả sử $a< b< c$

$\Rightarrow \frac{1}{a}> \frac{1}{b}> \frac{1}{c}$

$\Rightarrow \frac{3}{a}> \frac{2}{3}$

$\Rightarrow a\in \left \{ 2,3 \right \}$

thư a vào rồi bàng cách tt tìm b,c



#3
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 

$$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$

Từ giả thiết suy ra :

$\frac{2}{3}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{7}{10}$

Không giảm tính tổng quát giả sử $a> b> c> 1$

Suy ra : $\frac{2}{3}< \frac{3}{c}\Rightarrow 2c< 9$

Do đó $c\in \left \{ 2;3 \right \}$

$\bullet$ Với $c=2$ suy ra $\frac{2}{3}< \frac{1}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{7}{10}\Rightarrow \frac{1}{6}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{5}$ (1)

$\Rightarrow \frac{1}{6}< \frac{2}{b}$ và $\Rightarrow \frac{1}{b}< \frac{1}{5}$

Do đó $b\in \left \{ 7;11 \right \}$

Với $b=7$ từ (1) suy ra $\frac{1}{42}< \frac{1}{a}< \frac{2}{35}\Rightarrow a\in \left \{ 19,23,29,31,37,41 \right \}$

Với $b=11$ từ (1) suy ra $\frac{5}{66}< \frac{1}{a}< \frac{6}{55}\Rightarrow a=13$ (do $a> b$ )

$\bullet$ Với $c=3$ từ giả thiết suy ra 

$\frac{1}{3}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{11}{30}$ (*)

$\Rightarrow \frac{1}{3}< \frac{2}{b}\Rightarrow b< 6\Rightarrow b=5$ (Do $b> c$ )

Thay $b=5$ vào (*) ta có $6< a< \frac{15}{2}\Rightarrow a=7$

Vậy ...............



#4
trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 

$$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$

Đây là đề thi HSG tỉnh mình năm ngoái, Bắc Giang trên mạng đầy ý mà! :D


79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 


#5
revolver

revolver

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

hỏi xíu, tại sao từ $\frac{2}{3}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{7}{10}$ thì suy ra$\frac{2}{3}<\frac{3}{c} khi g/s a>b>c>1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh