Chủ đề này có 2 trả lời

[kfcchicken98]

cho a,b,c là các số dương

cm: $(a+b)^{2}+(a+b+4c)^{2}\geq \frac{100abc}{a+b+c}$

[AnnieSally]

cho a,b,c là các số dương

cm: $(a+b)^{2}+(a+b+4c)^{2}\geq \frac{100abc}{a+b+c}$

(HongKong TST 2001) Solution

[kfcchicken98]

(HongKong TST 2001) Solution

cách đó cũng hay, nhưng xin đóng góp thêm 1 cách khác:

chia 2 vế bđt cho $c^{2}$, thu được $(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})^{2}+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+4)\geq \frac{100\frac{a}{c}\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1}$

đặt $\frac{a}{c}=x; \frac{b}{c}=y$, ta có

$(x+y)^{2}+(x+y+4)^{2}\geq \frac{100xy}{x+y+1}$

có $\frac{100xy}{x+y+1}\leq \frac{25(x+y)^{2}}{x+y+1}$

đặt x+y=z

suy ra cần cm $z^{2}+(z+4)^{2}\geq \frac{25z^{2}}{z+1}$

tương đương $2z^{3}+8z^{2}+16z+2z^{2}+8z+16\geq 25z^{2}$

tương đương $2z^{3}-15z^{2}+24z+16\geq 0$

tương đương $(z-4)^{2}(2z+1)\geq 0$ (đúng)

dấu bằng khi a=b=2c