Chủ đề này có 2 trả lời

[hochoidr]

Cho $a, b, c >0$ và $a^2+b^2+c^2=1.$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\sum \frac{a}{b^2+c^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hochoidr: 21-11-2013 - 11:05

[kfcchicken98]

giải: có 2 cách làm bài này, cách 1 là thay $b^{2}+c^{2}=1-a^{2}$ và tương tự rồi chứng minh

cách 2: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}}{ab^{2}+c^{2}a}+\frac{b^{2}}{bc^{2}+a^{2}b}+\frac{c^{2}}{a^{2}c+b^{2}c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab(a+b)+bc(c+b)+ca(c+a)}$

do $2(a+b+c)^{3}\geq 9(ab(a+b)+bc(c+b)+ca(a+c))$

suy ra $P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{2}{9}(a+b+c)^{3}}=\frac{9}{2(a+b+c)}$

mặt khác $1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

suy ra $a+b+c\leq \sqrt{3}$

suy ra $P\geq \frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 21-11-2013 - 11:42

[KietLW9]

Cho $a, b, c >0$ và $a^2+b^2+c^2=1.$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\sum \frac{a}{b^2+c^2}$

Ta viết lại $P=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$

Xét hiệu: $\frac{a}{1-a^2}-\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}=\frac{a(a-\frac{1}{\sqrt{3}})^2(3\sqrt{3}a+6)}{2(1-a^2)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$