Chủ đề này có 5 trả lời

[LNH]

Bất đẳng thức lâu nay đã là một đề tài có sức quyến rũ lớn trong toán học sơ cấp. Và các bài bất đẳng thức giải bằng bất đẳng thức kinh điển Cauchy Schwarz luôn là những lời giải đẹp nhất, hay nhất. Tuy nhiên, để có được những lời giải như vậy cần phải luyện tập rất nhiều để có những suy luận tinh tế cũng như kĩ thuật điêu luyện. Đây cũng chính là lý do tôi mở topic này.

Nếu bạn nào chưa biết về BĐT này có thể tham khảo:

http://vi.wikipedia...._Cauchy-Schwarz

Và bây giờ, hãy cùng nổi sóng lên nào các anh em

Bài 1: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $x^2+y^3 \geq x^3+y^4$. CMR: $x^3+y^3 \leq 2$

Bài 2: Cho $x,y,z$ thuộc đoạn $\left [ -1;1 \right ]$ thoả mãn $x+y+z+xyz=0$. CMR:

$\sum \sqrt{x+1} \leq 3$

[nguyenqn1998]

Bài 1: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $x^2+y^3 \geq x^3+y^4$. CMR: $x^3+y^3 \leq 2$

 

ta có: $(x^3+y^3)^2\leq (x^3+y^4)(x^3+y^2)\leq(x^2+y^3)(x^3+y^2)\leq\frac{(x^2+y^2+x^3+y^3)^2}{4}$

=> $x^3+y^3\leq x^2+y^2$

theo bdt holder: $(x^2+y^2)^3\leq(x^3+y^3)(x+y)(x^2+y^2)$

=>$x^2+y^2\leq x+y$

mà $(x+y)^2\leq2(x^2+y^2)$

=> $x+y\leq 2$

=> $x^3+y^3 \leq x^2+y^2 \leq x+y \leq 2$(dpcm)

Bài 3:  cho x,y,z>0 CMR:

$\sum\frac{x^3}{x^3+xyz+y^3}\geq1$

[N H Tu prince]

Diễn đàn đã có topic $Cauchy-Schwarz$ ở đây

Tốt nhất nên tập trung thảo luận ở một topic để khỏi lặp

[LNH]

Bài 3:  cho x,y,z>0 CMR:

$\sum\frac{x^3}{x^3+xyz+y^3}\geq1$ (1)

Ta có:

$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \sum \frac{x^3\left ( x^3+y^3+z^3+xyz \right )}{x^3+y^3+xyz}\geq x^3+y^3+z^3+xyz$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^3z^3}{x^3+y^3+xyz}\geq xyz$

$\Leftrightarrow \frac{x^2z^2}{y\left ( x^3+y^3+xyz \right )}\geq 1$

$VT\left ( \sum yz^2\left ( x^3+y^3+xyz \right ) \right )\geq \left ( \sum z^2x \right )^2$

Lại có $\left ( \sum yz^2\left ( x^3+y^3+xyz \right ) \right )= \left ( \sum z^2x \right )^2$ nên suy ra đpcm

@N H Tu prince: topic kia ở THCS nên tớ lập 1 cái bên Olympic để mấy bác THPT dễ trao đổi

Bài 4: $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{b+c}\geq \sum \frac{a}{a^2+bc}$

[black zero 1999]

cho x, y không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 = 2$. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$

bài này khó quá mình làm mãi không ra mong các chỉ hộ với!!!

              

 

[vipboycodon]

Áp dụng cauchy :

$x^3+x^3+1 \ge 3x^2 $

$y^3+y^3+1 \ge 3y^2$

Cộng vế với vế :

$2(x^3+y^3+1) \ge 3(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow 6 \ge 3(x^2+y^2)$ 

$\Leftrightarrow x^2+y^2 \le 2$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$.