Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 7 Bình chọn

Topic bất đẳng thức Cauchy Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 21-11-2013 - 16:43

Bất đẳng thức lâu nay đã là một đề tài có sức quyến rũ lớn trong toán học sơ cấp. Và các bài bất đẳng thức giải bằng bất đẳng thức kinh điển Cauchy Schwarz luôn là những lời giải đẹp nhất, hay nhất. Tuy nhiên, để có được những lời giải như vậy cần phải luyện tập rất nhiều để có những suy luận tinh tế cũng như kĩ thuật điêu luyện. Đây cũng chính là lý do tôi mở topic này.

Nếu bạn nào chưa biết về BĐT này có thể tham khảo:

http://vi.wikipedia...._Cauchy-Schwarz

Và bây giờ, hãy cùng nổi sóng lên nào các anh em

Bài 1: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $x^2+y^3 \geq x^3+y^4$. CMR: $x^3+y^3 \leq 2$

Bài 2: Cho $x,y,z$ thuộc đoạn $\left [ -1;1 \right ]$ thoả mãn $x+y+z+xyz=0$. CMR:

$\sum \sqrt{x+1} \leq 3$



#2 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 21-11-2013 - 18:08

Bài 1: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $x^2+y^3 \geq x^3+y^4$. CMR: $x^3+y^3 \leq 2$

 

ta có: $(x^3+y^3)^2\leq (x^3+y^4)(x^3+y^2)\leq(x^2+y^3)(x^3+y^2)\leq\frac{(x^2+y^2+x^3+y^3)^2}{4}$

=> $x^3+y^3\leq x^2+y^2$

theo bdt holder: $(x^2+y^2)^3\leq(x^3+y^3)(x+y)(x^2+y^2)$

=>$x^2+y^2\leq x+y$

mà $(x+y)^2\leq2(x^2+y^2)$

=> $x+y\leq 2$

=> $x^3+y^3 \leq x^2+y^2 \leq x+y \leq 2$(dpcm)

Bài 3:  cho x,y,z>0 CMR:

$\sum\frac{x^3}{x^3+xyz+y^3}\geq1$



#3 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 21-11-2013 - 18:52

Diễn đàn đã có topic $Cauchy-Schwarz$ ở đây

Tốt nhất nên tập trung thảo luận ở một topic để khỏi lặp


Link

 


#4 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 21-11-2013 - 20:47

Bài 3:  cho x,y,z>0 CMR:

$\sum\frac{x^3}{x^3+xyz+y^3}\geq1$ (1)

Ta có:

$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \sum \frac{x^3\left ( x^3+y^3+z^3+xyz \right )}{x^3+y^3+xyz}\geq x^3+y^3+z^3+xyz$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^3z^3}{x^3+y^3+xyz}\geq xyz$

$\Leftrightarrow \frac{x^2z^2}{y\left ( x^3+y^3+xyz \right )}\geq 1$

$VT\left ( \sum yz^2\left ( x^3+y^3+xyz \right ) \right )\geq \left ( \sum z^2x \right )^2$

Lại có $\left ( \sum yz^2\left ( x^3+y^3+xyz \right ) \right )= \left ( \sum z^2x \right )^2$ nên suy ra đpcm

@N H Tu prince: topic kia ở THCS nên tớ lập 1 cái bên Olympic để mấy bác THPT dễ trao đổi

Bài 4: $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{b+c}\geq \sum \frac{a}{a^2+bc}$



#5 black zero 1999

black zero 1999

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-01-2014 - 10:13

cho x, y không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 = 2$. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$

bài này khó quá mình làm mãi không ra mong các chỉ hộ với!!!

   :(   :(   :(   :(   :(

 



#6 vipboycodon

vipboycodon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Phước
  • Sở thích:Chơi thể thao.... làm toán.

Đã gửi 20-01-2014 - 18:36

Áp dụng cauchy :

$x^3+x^3+1 \ge 3x^2 $

$y^3+y^3+1 \ge 3y^2$

Cộng vế với vế :

$2(x^3+y^3+1) \ge 3(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow 6 \ge 3(x^2+y^2)$ 

$\Leftrightarrow x^2+y^2 \le 2$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh