Chủ đề này có 4 trả lời

[marsu]

Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên gạch men hình thang cân với kích thước : đáy nhỏ $7cm$, đáy lớn $21cm$, cạnh bên $7\sqrt{2}$. Số lượng gạch men không hạn chế. Hỏi có thể lát kín được hay không ? ( không được đập vỡ từng viên gạch hay lát chờm viên này lên viên kia) . Giải thích tại sao ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 12-02-2014 - 22:50

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng      cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng      sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 23/02 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng      sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[LNH]

Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên gạch men hình thang cân với kích thước : đáy nhỏ $7cm$, đáy lớn $21cm$, cạnh bên $7\sqrt{2}$. Số lượng gạch men không hạn chế. Hỏi có thể lát kín được hay không ? ( không được đập vỡ từng viên gạch hay lát chờm viên này lên viên kia) . Giải thích tại sao ?

 

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng      cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng      sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 23/02 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng      sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Áp dụng định lí Py-ta-go, chiều cao của hình thang cân là $7$

Giả sử tồn tại một cách phủ hình chữ nhật bằng các hình thang cân cho trước.

Ta định nghĩa chiều cao của hình là giá trị lớn nhất của các khoảng cách giữa điểm trong các hình thang cân đến chiều dài của hình chữ nhật

Xét "vùng góc trái" dưới của hình chữ nhật (giả sử đây là hình chữ nhật ngang)

"Vùng" trên phải được phủ bởi $2$ phần của $2$ hình thang cân (như hình vẽ)

 Capture (1).PNG   11.22K   6 Số lần tải

 

Xét "vùng góc trái" được sinh bởi $2$ hình thang cân trên

"Vùng" trên cũng được phủ bởi $2$ phần của $2$ hình thang cân (như hình vẽ)

 Capture(2).PNG   11.14K   5 Số lần tải

Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi nào chiều cao của hình đạt đến mức bão hoà (có nghĩa là cho đến lúc không thể thực hiện thao tác được nữa). Điều này có thể xảy ra vì mỗi lần thực hiện thao tác trên thì chiều cao của hình tăng thêm $7$ (hình vẽ)

 Capture.PNG   16.74K   4 Số lần tải

Khi đó "vùng góc trái" được sinh bởi $2$ hình thang cân cuối cùng không thể được phủ bởi $2$ hình thang cân nào nữa

Vậy không tồn tại cách phủ các hình thang cân vào hình chữ nhật

======================

Ý tưởng chủ đạo của bài này là lùi vô hạn

[henry0905]

Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên gạch men hình thang cân với kích thước : đáy nhỏ $7cm$, đáy lớn $21cm$, cạnh bên $7\sqrt{2}$. Số lượng gạch men không hạn chế. Hỏi có thể lát kín được hay không ? ( không được đập vỡ từng viên gạch hay lát chờm viên này lên viên kia) . Giải thích tại sao ?

Ý tưởng bài này mình dùng diện tích. Giả sử hình chữ nhật ấy là $a.b, a,b>7; a,b$ nguyên dương. Tô màu xanh cho hình vuông, màu đỏ cho hai tam giác vuông cân hai bên. Để xếp hình chữ nhật suy ra mỗi góc ở đỉnh được ghép bởi một hình vuông đỏ, tương tự cho 3 góc còn lại, giờ ta xét hình chữ nhật bên trong, có diện tích $(a-14)(b-14$), tiếp tục như thế ta chỉ xét một hình vuông $c.d$ với $c=21$ hay $c=42$, d nguyên dương bất kì, Nếu $c=21$, tương tự như trên $c=14$ cũng thỏa (vô lý), tương tự cho $c=42$, do đó không không thể phủ hết được, do không tồn tại hình chữ nhật $a.b$.

Cách giải của bạn LNH gần như chỉ là nhận xét về cách sắp xếp hình sao cho hợp lí nhất, mình không nghĩ đó là một cách chứng minh.

 ScreenHunter_116 Feb. 23 23.02.jpg   10.42K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 23-02-2014 - 23:03

[chanhquocnghiem]

Áp dụng định lí Py-ta-go, chiều cao của hình thang cân là $7$

Giả sử tồn tại một cách phủ hình chữ nhật bằng các hình thang cân cho trước.

Ta định nghĩa chiều cao của hình là giá trị lớn nhất của các khoảng cách giữa điểm trong các hình thang cân đến chiều dài của hình chữ nhật

Xét "vùng góc trái" dưới của hình chữ nhật (giả sử đây là hình chữ nhật ngang)

"Vùng" trên phải được phủ bởi $2$ phần của $2$ hình thang cân (như hình vẽ)

Capture (1).PNG

 

Xét "vùng góc trái" được sinh bởi $2$ hình thang cân trên

"Vùng" trên cũng được phủ bởi $2$ phần của $2$ hình thang cân (như hình vẽ)

Capture(2).PNG

Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi nào chiều cao của hình đạt đến mức bão hoà (có nghĩa là cho đến lúc không thể thực hiện thao tác được nữa). Điều này có thể xảy ra vì mỗi lần thực hiện thao tác trên thì chiều cao của hình tăng thêm $7$ (hình vẽ)

Capture.PNG

${\color{DarkRed} }$

Vậy không tồn tại cách phủ các hình thang cân vào hình chữ nhật

======================

Ý tưởng chủ đạo của bài này là lùi vô hạn

Thực chất bài này là phải chứng minh BẤT KỲ hình chữ nhật nào cũng không thể lát kín bằng loại gạch nói trong đề bài.

Bạn LNH viết (ở đoạn cuối) :

" Khi đó "vùng góc trái" được sinh bởi $2$ hình thang cân cuối cùng không thể được phủ bởi $2$ hình thang cân nào nữa "

Điều này thì chưa chắc !

Nếu chiều rộng hình chữ nhật đang xét có dạng $\frac{21}{\sqrt{2}}+7k$ $(cm)$ ($k\in \mathbb{N}$) thì sau $k+1$ thao tác là có thể phủ kín mọi "vùng góc trái" và lúc đó chiều cao của hình cũng vừa bằng chiều rộng hình chữ nhật.Thực vậy :

Sau thao tác thứ nhất, chiều cao của hình là $21$ (cm)

$k-1$ thao tác tiếp theo, mỗi thao tác hình cao thêm $7$ (cm)

Thao tác cuối cùng là ghép $2$ hình thang cân sao cho $2$ đáy lớn trùng nhau : chiều cao của hình tăng thêm $\frac{21}{\sqrt{2}}-14$ (cm) và bằng $21+7(k-1)+\frac{21}{\sqrt{2}}-14=\frac{21}{\sqrt{2}}+7k$ (cm) (bằng chiều rộng hình chữ nhật)

 

Còn bạn henry0905 thì chỉ mới xét hình chữ nhật cạnh nguyên (mà lập luận chưa rõ ràng, chặt chẽ)

 

Mình xin đề xuất cách sau :

Giả sử tồn tại hình chữ nhật $ABCD$ có thể lát kín bằng các viên gạch hình thang cân nói trong đề bài.

Gọi $m_{1};n_{1};p_{1}$ lần lượt là số viên gạch có đáy lớn; đáy nhỏ; cạnh bên nằm trên chiều dài $AB$

$m_{2};n_{2};p_{2}$ lần lượt là số viên gạch có đáy lớn; đáy nhỏ; cạnh bên nằm trên chiều rộng $AD$

($m_{1};n_{1};p_{1};m_{2};n_{2};p_{2}\in \mathbb{N}$)

Đặt $q_{1}=3m_{1}+n_{1}$ ; $q_{2}=3m_{2}+n_{2}$.

$S_{ABCD}=(21m_{1}+7n_{1}+7\sqrt{2}p_{1})(21m_{2}+7n_{2}+7\sqrt{2}p_{2})=49\left [ (q_{1}+p_{1}\sqrt{2})(q_{2}+p_{2}\sqrt{2}) \right ]=49[q_{1}q_{2}+(q_{1}p_{2}+q_{2}p_{1})\sqrt{2}+2p_{1}p_{2}]$ ($cm^2$)

Vì diện tích mỗi viên gạch là số nguyên nên $S_{ABCD}$ phải là số nguyên $\Rightarrow p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1}=0$ (1)

Mặt khác dễ thấy rằng số viên gạch có đáy lớn nằm trên bất kỳ cạnh nào cũng khác $0$ ($m_{1}> 0;m_{2}> 0$) $\Rightarrow q_{1}> 0;q_{2}> 0$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow p_{1}=p_{2}= 0$ (tức là không có viên gạch nào có cạnh bên nằm trên biên hình chữ nhật) $\Rightarrow AB=7q_{1}$ ; $AD=7q_{2}$ ; $S_{ABCD}=49q_{1}q_{2}$

Hơn nữa diện tích mỗi viên gạch là $98(cm^2)$ $\Rightarrow S_{ABCD}\vdots 98\Rightarrow$ trong 2 số nguyên dương $q_{1}$ và $q_{2}$ có ít nhất $1$ số chẵn.

Bây giờ ta vẽ một mạng lưới chia hình chữ nhật $ABCD$ thành $q_{1}q_{2}$ hình vuông con $7\times 7$ và trong mỗi hình vuông con ta vẽ 2 đường chéo.Ta quy ước gọi tập hợp các đường vừa vẽ và các biên của hình chữ nhật là các đường lưới.

Nhận xét rằng vì không có viên gạch nào có cạnh bên nằm trên biên của hình chữ nhật nên tất cả các cạnh của bất kỳ viên gạch nào cũng nằm trên các đường lưới và mỗi viên gạch phủ kín $4$ tam giác vuông cân có cạnh bên bằng $7cm$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ Trong $2$ số nguyên dương $q_{1}$ và $q_{2}$ chỉ có $1$ số chẵn 

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $q_{1}$ chẵn ($q_{2}$ lẻ)

Trên các biên $AB$ và $CD$, ta lấy $E$ và $F$ sao cho $AE=DF=7u$ ($u\in \mathbb{N}^{+}$, $u< q_{1}$ và $u$ lẻ) $\Rightarrow EB=FC=7(q_{1}-u)=7v$ ($v$ cũng là số nguyên dương lẻ)

Để cho tiện, từ đây trở xuống, ta lấy cạnh hình vuông con làm đơn vị độ dài (dvdd) và diện tích hình vuông con làm đơn vị diện tích (dvdt).Như vậy diện tích mỗi viên gạch là $2$ (dvdd) và

$AE=u$ ; $EB=v$ ; $AD=EF=q_{2}$ (dvdd)

Các hình chữ nhật $AEFD$ (gọi tắt là $H_{1}$)và $EBCF$ (gọi tắt là $H_{2}$) có độ dài các cạnh đều lẻ nên diện tích của chúng (tính theo dvdt quy ước) cũng là số nguyên lẻ.Mà diện tích mỗi viên gach là $2$ (đvdt) nên suy ra có $1$ viên gạch nào đó mà đúng một nửa diện tích nằm trên $H_{1}$ và một nửa còn lại nằm trên $H_{2}$ (gọi viên gạch đó là $g$)

Lưu ý rằng một nửa diện tích của $g$ nằm trên $H_{1}$ phải phủ kín $2$ tam giác vuông cân có cạnh bên $7cm$ tạo ra bởi các đường lưới và nửa còn lại nằm trên $H_{2}$ cũng phải như vậy.Bây giờ ta chú ý đến hình dạng viên gạch.Nếu ta chia đôi diện tích một viên gạch sao cho mỗi phần bằng $2$ tam giác vuông cân cạnh bên $7cm$ ghép lại thì đường phân giới phải là cạnh huyền chung của $2$ tam giác vuông cân cạnh bên $7cm$ kề nhau, tức là độ dài đường phân giới đó phải là $\sqrt{2}$ (dvdd) (dĩ nhiên đường phân giới này phải nằm trên $EF$).Nhưng theo các đường lưới mà ta đã vẽ thì trên $EF$ không có cạnh huyền chung của $2$ tam giác vuông cân cạnh bên $7cm$ nào cả (chỉ có các cạnh bên chung của các tam giác vuông cân, và độ dài của chúng là $1$ (dvdd)).Điều này chứng tỏ không có viên gạch nào nằm " nửa bên nọ, nửa bên kia " (viên gạch $g$ không tồn tại) hay nói cách khác, mỗi hình $H_{1}$ và $H_{2}$ đều có một diện tích bằng $1$ (đvdt) (nửa viên gạch) không thể lấp kín.

 

$2)$ Cả $2$ số nguyên dương $q_{1}$ và $q_{2}$ đều chẵn.

Tương tự, ta dùng các đoạn thẳng $EF$ và $JK$ vuông góc với nhau chia hình chữ nhật $ABCD$ thành $4$ hình chữ nhật con sao cho độ dài các cạnh của $4$ hình chữ nhật này đều lẻ (tính theo dvdd quy ước).Từ đó suy ra diện tích của chúng (tính theo đvdt) cũng là các số nguyên lẻ.Nếu hình chữ nhật $ABCD$ có thể lát kín thì $2$ hình chữ nhật con kề nhau phải " cưa đôi " một viên gạch (và $2$ hình chữ nhật con còn lại cũng phải " cưa đôi " một viên gạch khác).Nhưng như lập luận ở trên, điều đó không thể xảy ra.Vậy trong trường hợp này hình chữ nhật $ABCD$ cũng không thể lát kín.

 

Kết luận : Với bất kỳ hình chữ nhật nào cũng không thể lát kín bằng loại gạch nói trong đề bài 

(Có thể trong lập luận và trình bày có chỗ sơ sót, khó hiểu.Mong được mọi người góp ý)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-02-2014 - 17:04