Chủ đề này có 8 trả lời

[yeutoan2604]

Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên

[kevotinh2802]

Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên

dễ thấy 1 số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

TH1: $2^n-15\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n+1\vdots 4$ ( vô lý )

Th2: $2^n-15-1\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n\vdots 4$$\Rightarrow n\geqslant 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kevotinh2802: 21-11-2013 - 20:16

[yeutoan2604]

dễ thấy 1 số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

TH1: $2^n-15\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n+1\vdots 4$ ( vô lý )

Th2: $2^n-15-1\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n\vdots 4$$\Rightarrow n\geqslant 4$

thay n=1 đúng và n=4 lại sai bạn à?

[Trang Luong]

Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên

Nếu n lẻ thì $2^{n}\equiv 2 (mod3)\Rightarrow 2^{n}-15\equiv 2(mod3)$ (vô lý)

Nếu n chẵn thì n=2k.

Đặt $2^{2k}-15=a^{2}$  (a là số tự nhiên)

$\Leftrightarrow (2^{k}-a)(2^{k}+a)=15$

[kevotinh2802]

thay n=1 đúng và n=4 lại sai bạn à?

n = 1 thì số đó âm? ko thỏa mãn, n=4=>>> $2^4=16-15=1^2$

[yeutoan2604]

n = 1 thì số đó âm? ko thỏa mãn, n=4=>>> $2^4=16-15=1^2$

sorry nhầm hehe

[yeutoan2604]

dễ thấy 1 số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

TH1: $2^n-15\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n+1\vdots 4$ ( vô lý )

Th2: $2^n-15-1\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n\vdots 4$$\Rightarrow n\geqslant 4$

nhưng với n=5 ,n=6 thay vào ko đúng bạn à

[kevotinh2802]

nhưng với n=5 ,n=6 thay vào ko đúng bạn à

ờ nhỉ? thế là phải sửa lại lời giải rồi ^^

n=4 thôi!! t chứng minh lại là n>4 ko tman

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kevotinh2802: 21-11-2013 - 21:52

[Phuong Thu Quoc]

Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên

Đặt $2^{n}-15=a^{2}$ $\rightarrow a$ là số lẻ ( a là số tự nhiên )

Đặt $a=2k+1 \left ( k\in \mathbb{N} \right )$

Ta có $2^{n}-15=\left ( 2k+1 \right )^{2}\Leftrightarrow 2^{n-2}=k^{2}+k+4\Leftrightarrow 4\left ( 2^{n-4}-1 \right )=k\left ( k+1 \right )$

Nếu $n=4$ thì $k=0\rightarrow a=1$

Nếu n>4 thì do $4,2^{n-4}-1$ nguyên tố cùng nhau và $k,k+1$ nguyên tố cùng nhau nên ta có các trường hợp

TH1: $\left\{\begin{matrix} k=4 & & \\ k+1=2^{n-4}-1 & & \end{matrix}\right.$

Hệ này vô nghiệm

TH2: $\left\{\begin{matrix} k=2^{n-4}-1 & & \\ k+1=4 & & \end{matrix}\right.$

Hệ này cho $n=6,k=3\rightarrow a=7$

Tóm lại các số thỏa mãn đề bài là $4 và 6$