Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
#1
Đã gửi 21-11-2013 - 19:53
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#2
Đã gửi 21-11-2013 - 20:15
Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
dễ thấy 1 số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
TH1: $2^n-15\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n+1\vdots 4$ ( vô lý )
Th2: $2^n-15-1\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n\vdots 4$$\Rightarrow n\geqslant 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kevotinh2802: 21-11-2013 - 20:16
- yeutoan2604 yêu thích
#3
Đã gửi 21-11-2013 - 20:19
dễ thấy 1 số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
TH1: $2^n-15\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n+1\vdots 4$ ( vô lý )
Th2: $2^n-15-1\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n\vdots 4$$\Rightarrow n\geqslant 4$
thay n=1 đúng và n=4 lại sai bạn à?
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#4
Đã gửi 21-11-2013 - 20:44
Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
Nếu n lẻ thì $2^{n}\equiv 2 (mod3)\Rightarrow 2^{n}-15\equiv 2(mod3)$ (vô lý)
Nếu n chẵn thì n=2k.
Đặt $2^{2k}-15=a^{2}$ (a là số tự nhiên)
$\Leftrightarrow (2^{k}-a)(2^{k}+a)=15$
- pham anh quan, NguyenKieuLinh, dinhminhha và 1 người khác yêu thích
Issac Newton
#5
Đã gửi 21-11-2013 - 21:29
thay n=1 đúng và n=4 lại sai bạn à?
n = 1 thì số đó âm? ko thỏa mãn, n=4=>>> $2^4=16-15=1^2$
#6
Đã gửi 21-11-2013 - 21:30
n = 1 thì số đó âm? ko thỏa mãn, n=4=>>> $2^4=16-15=1^2$
sorry nhầm hehe
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#7
Đã gửi 21-11-2013 - 21:31
dễ thấy 1 số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
TH1: $2^n-15\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n+1\vdots 4$ ( vô lý )
Th2: $2^n-15-1\vdots 4$ Từ đây suy ra $2^n\vdots 4$$\Rightarrow n\geqslant 4$
nhưng với n=5 ,n=6 thay vào ko đúng bạn à
- kevotinh2802 yêu thích
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#8
Đã gửi 21-11-2013 - 21:36
nhưng với n=5 ,n=6 thay vào ko đúng bạn à
ờ nhỉ? thế là phải sửa lại lời giải rồi ^^
n=4 thôi!! t chứng minh lại là n>4 ko tman
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kevotinh2802: 21-11-2013 - 21:52
#9
Đã gửi 22-11-2013 - 19:27
Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho $2^{n}-15$ là bình phương của một số tự nhiên
Đặt $2^{n}-15=a^{2}$ $\rightarrow a$ là số lẻ ( a là số tự nhiên )
Đặt $a=2k+1 \left ( k\in \mathbb{N} \right )$
Ta có $2^{n}-15=\left ( 2k+1 \right )^{2}\Leftrightarrow 2^{n-2}=k^{2}+k+4\Leftrightarrow 4\left ( 2^{n-4}-1 \right )=k\left ( k+1 \right )$
Nếu $n=4$ thì $k=0\rightarrow a=1$
Nếu n>4 thì do $4,2^{n-4}-1$ nguyên tố cùng nhau và $k,k+1$ nguyên tố cùng nhau nên ta có các trường hợp
TH1: $\left\{\begin{matrix} k=4 & & \\ k+1=2^{n-4}-1 & & \end{matrix}\right.$
Hệ này vô nghiệm
TH2: $\left\{\begin{matrix} k=2^{n-4}-1 & & \\ k+1=4 & & \end{matrix}\right.$
Hệ này cho $n=6,k=3\rightarrow a=7$
Tóm lại các số thỏa mãn đề bài là $4 và 6$
- hoangmanhquan yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh