Đến nội dung

Hình ảnh

$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

bất đẳng thức côsi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Trannhuphuc

Trannhuphuc

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Bài 1 : Cho $x>0 ,y>0 , z>0$ và $x+y+z=xyz$

$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

Tim max P ?

Bài 2 : Cho x,y,z > 0 và $x+y+z=1$

$P= \frac{x+y}{\sqrt{xy+z}} + \frac{y+z}{\sqrt{yz+x}} + \frac{x+z}{\sqrt{xz+y}}$

Tìm min P ?

 

 

_________________
MOD: Chú ý tiêu đề


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 22-11-2013 - 12:12

NEVER GIVE UP ^^


#2
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

bài 2, trâu bò tí

P= $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{x^{2}y+xz}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{xy^{2}+yz}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{y^{2}z}+xy}+\frac{z^{2}}{\sqrt{z}\sqrt{yz^{2}+xz}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{x^{2}z+yx}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{z}\sqrt{xz^{2}+yz}}\geq \frac{4(x+y+z)^{2}}{\sum \sqrt{x}\sqrt{x^{2}+xy}}\geq \frac{4}{\sqrt{2((\frac{2}{9}(a+b+c)^{3}+\frac{2(a+b+c)^{2}}{3}}}=\frac{4}{\sqrt{2(\frac{2}{9}+\frac{2}{3})}}=3$

tạm thời chưa có cách ngắn hơn



#3
sieutoan99

sieutoan99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Bài 1 : Cho x>0 ,y>0 , z>0 và x+y+z=xyz 

 

$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

 

Tim max P ?

Đáp số : 3/2

 

 

 

 

Bài 1:

Ta có : $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x(x+y+z)}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z})(1)$    

Tương tự : $\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{y+x}+\frac{z}{y+z})(2)$  

                  $\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{z+y})(3)$  

Từ (1),(2),(3) :

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x})=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Vậy max P=$\frac{3}{2}$  khi $x=y=z=\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieutoan99: 22-11-2013 - 12:19

☺☺☺Inequalities☺☺☺

#4
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 1 : Cho $x>0 ,y>0 , z>0$ và $x+y+z=xyz$

$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

Tim max P ?

Bài 2 : Cho x,y,z > 0 và $x+y+z=1$

$P= \frac{x+y}{\sqrt{xy+z}} + \frac{y+z}{\sqrt{yz+x}} + \frac{x+z}{\sqrt{xz+y}}$

Tìm min P ?

Bài 1: Cách khác : Do điều kiện bài toán nên ta có thể đặt $(x,y,z)=(\tan A,\tan B, \tan C),A+B+C= \pi$

Khi đó $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2A}}=\cos A$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $ \cos A+\cos B+\cos C\leqslant \frac{3}{2}$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do 

                              $\cos A+\cos B+\cos C\leqslant 3\cos (\frac{A+B+C}{3})=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $ x=y=z=\sqrt{3}$

Bài 2: Xét $\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z(x+y+z)}}=\frac{x+y}{\sqrt{(z+y)(x+z)}}$

    $\Rightarrow \sum \frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\sum \frac{x+y}{\sqrt{(z+y)(x+z)}}\geqslant 3$ theo AM-GM

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 22-11-2013 - 12:20

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

bài 1

$P^{2}\leq 3(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}})$

giờ cần chứng minh$3(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}})\leq \frac{9}{4}$

bđt tương đương $\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{y^{2}}{1+y^{2}}+\frac{z^{2}}{1+z^{2}}\geq \frac{9}{4}$

tương đương $\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{9}{4}$

có $\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{9}{3+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}$

do x+y+z=xyz, suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

suy ra $\frac{9}{3+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}=\frac{9}{\frac{4}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}=\frac{27(x+y+z)^{2}}{4(xy+yz+xz)^{2}}\geq \frac{81}{4(xy+yz+xz)}$

$1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}$

suy ra $\frac{81}{4(xy+yz+xz)}\geq \frac{9}{4}$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 22-11-2013 - 12:41


#6
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

bài 1

$P^{2}\leq 3(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}})$

giờ cần chứng minh$3(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}})\leq \frac{9}{4}$

bđt tương đương $\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{y^{2}}{1+y^{2}}+\frac{z^{2}}{1+z^{2}}\geq \frac{9}{4}$

tương đương $\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{9}{4}$

có $\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{9}{3+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}$

do x+y+z=xyz, suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

suy ra $\frac{9}{3+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}=\frac{9}{\frac{4}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}=\frac{27(x+y+z)^{2}}{4(xy+yz+xz)^{2}}\geq \frac{81}{4(xy+yz+xz)}$

$1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}$

suy ra $\frac{81}{4(xy+yz+xz)}\geq \frac{9}{4}$ đpcm

bất đẳng thức cuối cùng ngược dấu 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức côsi

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh