Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 23-11-2013 - 22:07
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 23-11-2013 - 22:07
Ta có :$P=\frac{(x-\frac{1}{2})+(y-\frac{1}{2})}{y^2}+\frac{(y-\frac{1}{2})+(z-\frac{1}{2})}{z^2}+\frac{(z-\frac{1}{2})+(x-\frac{1}{2})}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=(x-\frac{1}{2})(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})+(y-\frac{1}{2})(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})+(z-\frac{1}{2})(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{2(x-\frac{1}{2})}{xy}+\frac{2(y-\frac{1}{2})}{yz}+\frac{2(z-\frac{1}{2})}{xz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\geq \sqrt{3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})}-1=\sqrt{3}-1$
$= > P$ Min =$\sqrt{3}-1< = > x=y=z=\sqrt{3}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh