Chủ đề này có 2 trả lời

[ttdlaq]

cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn abc=(1-a)(1-b)(1-c) chứng minh rằng

     $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttdlaq: 23-11-2013 - 22:23

[Sagittarius912]

cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn abc=(1-a)(1-b)(1-c) chứng minh rằng

     $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{3}{4}$

Ta viết giả thiết lại thành:

 

$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=1$

Đặt

 $\frac{1}{a}-1=m$

$\frac{1}{b}-1=m$

$\frac{1}{c}-1=p$

Khi đó bđt cần chứng minh trở thành:

 

$\frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(p+1)^2}\ge \frac{3}{4}$  (*) với $mnp=1$

Không mất tính tổng quát đặt 

 

$m=\frac{ab}{c^2};n=\frac{bc}{a^2};p=\frac{ca}{b^2}$ ( cứ coi như $a,b,c$ này khác với $a,b,c$ ở đề bài đi @@

 

$(*)\Leftrightarrow \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}+\frac{b^4}{(b^2+ca)^2}+\frac{c^4}{(c^2+ab)^2}\ge \frac{3}{4}$

Theo bđt Cauchy-Schwarz:

 

$\frac{a^4}{(a^2+bc)^2}+\frac{b^4}{(b^2+ca)^2}+\frac{c^4}{(c^2+ab)^2}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)}{\sum a^4+2abc(a+b+c)+\sum a^2b^2}$ (1)

Và ta có:

 

$abc(a+b+c)\le \sum a^2b^2\le \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$ (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

[25 minutes]

cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn abc=(1-a)(1-b)(1-c) chứng minh rằng

     $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{3}{4}$

Có thể làm khác 1 chút như sau ( phần lớn vẫn dựa trên í tưởng của Sagittarius912 ) 

Từ giả thiết ta có $\prod \frac{a}{1-a}=1\Rightarrow xyz=1$ với  $(x,y,z)=(\frac{a}{1-a},\frac{b}{1-b},\frac{c}{1-c})$

Khi đó bất đẳng thức trở thành $(\frac{x}{x+1})^2+(\frac{y}{y+1})^2+(\frac{z}{z+1})^2\geqslant \frac{3}{4}$ với $xyz=1$

Chuyển biến $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=(u,v,w)\Rightarrow uvw=1$

Cần chứng minh $\frac{1}{(1+v)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Biến đổi tương đương ta có 

         $\frac{1}{(1+v)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}\geqslant \frac{1}{1+uv}=\frac{1}{1+\frac{1}{w}}=\frac{w}{w+1}=\frac{w^2+w}{(1+w)^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{(1+v)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}\geqslant \frac{w^2+w}{(1+w)^2}+\frac{1}{(1+w)^2}=\frac{w^2+w+1}{(w+1)^2}$

Lại có $\frac{w^2+w+1}{(w+1)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (w-1)^2 \geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $u=v=w=1$ hay $2a=2b=2c=1$