4. Tìm x;y;z nguyên tố sao cho $x^2+y^3=z^4$ (1)
Nếu cả $x$ và $y$ đều lẻ thì ta có : $x^{2}+y^{3}$ là số chẵn, tức $z^{4}$ chẵn. Điều này chứng tỏ $z$ là số chẵn và vì nó nguyên tố nên ta có $z=2$ . Lúc này, phương trình đã cho tương đương với :
$x^{2}+y^{3}=16$
Do $y$ là số nguyên tố lẻ nên $y^{3}\geq 3^{3}=27> 16$. Nên phương trình không xảy ra . Vậy một trong $2$ số $x$ hoặc $y$ phải có $1$ số nguyên tố chẵn, tức là bằng $2$
$\bullet TH_{1}$ : $x=2$ , PT (1) tương đương : $4+y^{3}=z^{4}$
Nếu $z=3$ thì $y^{3}=3^{4}-4=77$ (vô lý ) , nên $z\neq 3$ hay $(z,3)=1$.
Sử dụng định lý Fermat nhỏ ta có : $z^{2}\equiv 1$ ( mod $3$ ) . Suy ra :
$y^{3}=z^{4}-4\equiv 1^{2}-4$ ( mod $3$ )
$\equiv 0$ ( mod $3$ )
Suy ra $y$ chia hết cho $3$ mà $y$ là số nguyên tố nên $y=3$
$\Rightarrow z^{4}=4+27=31$ ( vô lý )
$\bullet TH_{2}$ : $y=2$ . PT(1) tương đương :
$x^{2}+8=z^{4}$
Nếu $x=3$ thì $z^{4}=9+8=17$ ( vô lý ) , nên $x\neq 3$ . Suy ra :
$(x,3)=1$ . Theo định lý Fermat nhỏ , ta có : $x^{2}\equiv 1$ ( mod $3$ ) nên :
$z^{3}=x^{2}+8\equiv 1+8$ (mod $3$)
$\equiv 0$ ( mod $3$ )
Nên $z$ chia hết cho $3$ và suy ra $z=3$ . Suy ra
$x^{2}=3^{4}-8=73$ ( vô lý )
Vậy không tồn tại bộ ba số nguyên tố thõa mãn đề bài