Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: A= $a^n+b^n+c^n+d^n$ là hợp số với mọi n tự nhiên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
muamuaha125

muamuaha125

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

1, Cho a;b;c;d $\epsilon N^{*}$ thỏa mãn: a.b=c.d. Chứng minh: A= $a^n+b^n+c^n+d^n$ là hợp số với mọi n tự nhiên.

2. Cho $\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}=\frac{a}{c}$. CMR: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

3. Tìm n$\epsilon N^{*}$ sao cho $\frac{n(n+1)(2n-1)}{2}-1$ là số nguyên tố.

4. Tìm x;y;z nguyên tố sao cho $x^2+y^3=z^4$



#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

1, Cho a;b;c;d $\epsilon N^{*}$ thỏa mãn: a.b=c.d. Chứng minh: A= $a^n+b^n+c^n+d^n$ là hợp số với mọi n tự nhiên.

2. Cho $\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}=\frac{a}{c}$. CMR: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

3. Tìm n$\epsilon N^{*}$ sao cho $\frac{n(n+1)(2n-1)}{2}-1$ là số nguyên tố.

4. Tìm x;y;z nguyên tố sao cho $x^2+y^3=z^4$

Bài $1$ , đặt $gcd(a,c)=t$ ta có $a=a_{1}t,c=c_{1}t$ với $gcd(a_{1},c_{1})=1$

Ta có $a_{1}b=c_{1}d$ nên $a_{1}b$ chia hết $c_{1}$ , lại có $gcd(a_{1},c_{1})=1$ nên $b$ chia hết $c_{1}$ nên $b=mc_{1}$

nên ta có $d=ma_{1}$ thế vào $A$ ta có

$A=t^{n}.a_{1}^{n}+m^{n}c_{1}^{n}+t^{n}c_{1}^{n}+m^{n}a_{1}^{n}=(t^{n}+m^{n})(c_{1}^{n}+a_{1}^{n})$ là hợp số 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

bài 2 : phải có a khác c .nếu a=c thì có bộ thỏa mãn như a=c=2 .b=3 thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 17$ là số nguyên tố


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#4
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

3. Tìm n$\epsilon N^{*}$ sao cho $\frac{n(n+1)(2n-1)}{2}-1$ là số nguyên tố.

 

Đặt :

$A=\frac{n(n+1)(2n-1)}{2}-1=\frac{(n-1)(2n^{2}+3n+2)}{2}$
Do $n\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow 2n^{2}+3n+2> n-1$

Để $A$ là số nguyên tố :

$\Rightarrow \begin{bmatrix} n-1=1 & \\ n-1=2 & \end{bmatrix}$
Xét $n-1=1$
$\Rightarrow n=2\Rightarrow A=8$ ( loại )

Xét $n-1=2$

$\Rightarrow n=3\Rightarrow A=29$ ( chọn )

Vậy $n=3$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#5
muamuaha125

muamuaha125

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

bài 2 : phải có a khác c .nếu a=c thì có bộ thỏa mãn như a=c=2 .b=3 thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 17$ là số nguyên tố

nếu a khác c thì làm thế nào hả bạn

#6
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

nếu a khác c

sau khi quy đồng ta đc ac =$b^{2}$

$b^{2}+a^{2}+c^{2}= a^{2}+c^{2}-ac= (a+c)^{2}-ac= (a+c)^{2}-b^{2}= (a+b+c)(a+c-b)$

nếu a+c-b =1 suy ra $ac=b^{2}=(a+c-1)^{2}$ hay $a^{2}+c^{2}+ac-2a-2c+1=0$ hay $(a-1)^{2}+(c-1)^{2}+ac-1=0$ suy ra ac =1 suy ra a=c=1 ( vô lí do a khác c)


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#7
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

4. Tìm x;y;z nguyên tố sao cho $x^2+y^3=z^4$  (1)

Nếu cả $x$ và $y$ đều lẻ thì ta có : $x^{2}+y^{3}$ là số chẵn, tức $z^{4}$ chẵn. Điều này chứng tỏ $z$ là số chẵn và vì nó nguyên tố nên ta có $z=2$ . Lúc này, phương trình đã cho tương đương với :

$x^{2}+y^{3}=16$

Do $y$ là số nguyên tố lẻ nên $y^{3}\geq 3^{3}=27> 16$. Nên phương trình không xảy ra . Vậy một trong $2$ số $x$ hoặc $y$ phải có $1$ số nguyên tố chẵn, tức là bằng $2$

$\bullet TH_{1}$ : $x=2$ , PT (1) tương đương : $4+y^{3}=z^{4}$

Nếu $z=3$ thì $y^{3}=3^{4}-4=77$ (vô lý ) , nên $z\neq 3$ hay $(z,3)=1$.

Sử dụng định lý Fermat nhỏ ta có : $z^{2}\equiv 1$ ( mod $3$ ) . Suy ra :

$y^{3}=z^{4}-4\equiv 1^{2}-4$ ( mod $3$ )

                      $\equiv 0$ ( mod $3$ )

Suy ra $y$ chia hết cho $3$ mà $y$ là số nguyên tố nên $y=3$

$\Rightarrow z^{4}=4+27=31$ ( vô lý )

$\bullet TH_{2}$ : $y=2$ . PT(1) tương đương :

$x^{2}+8=z^{4}$

Nếu $x=3$ thì $z^{4}=9+8=17$ ( vô lý ) , nên $x\neq 3$ . Suy ra :

$(x,3)=1$ . Theo định lý Fermat nhỏ , ta có : $x^{2}\equiv 1$ ( mod $3$ ) nên :

$z^{3}=x^{2}+8\equiv 1+8$ (mod $3$)

                      $\equiv 0$ ( mod $3$ )

Nên $z$ chia hết cho $3$ và suy ra $z=3$ . Suy ra 

$x^{2}=3^{4}-8=73$ ( vô lý )

Vậy không tồn tại bộ ba số nguyên tố thõa mãn đề bài






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh