Chủ đề này có 2 trả lời

[thang96]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz.

Chứng minh: \frac{x}{x^{2}+yz}+\frac{y}{y^{2}+xz}+\frac{z}{z^{2}+xy}$\leqslant \frac{1}{2}$

[kfcchicken98]

từ giả thiết suy ra $\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=1$

có $\frac{x}{x^{2}+yz}\leq \frac{x}{4x^{2}}+\frac{x}{4yz}$

tương tự suy ra VT $\leq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{x}{4yz}+\frac{y}{4xz}+\frac{z}{4xy}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

có $\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

suy ra VT$\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

[Hoang Tung 126]

Theo bdy AM-GM có :$\sum \frac{x}{x^2+yz}\leq \sum \frac{x}{2x\sqrt{yz}}=\sum \frac{1}{2\sqrt{yz}}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{x})=\frac{1}{2}.\frac{\sum xy}{xyz}\leq \frac{1}{2}.\frac{\sum x^2}{xyz}=\frac{1}{2}$(đpcm)