Cho dãy số (un) thỏa
$x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$ và $x_0=2$
a) tính limxn
b)Chứng minh rằng $x_1+x_2+x_3+...+x_{2008}< 2009$
E đang cần gấp , quan trọng là câu b)
Cho dãy số (un) thỏa
$x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$ và $x_0=2$
a) tính limxn
b)Chứng minh rằng $x_1+x_2+x_3+...+x_{2008}< 2009$
E đang cần gấp , quan trọng là câu b)
Cho dãy số (un) thỏa
$x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$ và $x_0=2$
a) tính limxn
b)Chứng minh rằng $x_1+x_2+x_3+...+x_{2008}< 2009$
E đang cần gấp , quan trọng là câu b)
Mới nghĩ ra câu a
Ta có $x_{n+1}-1=\frac{x_n-1}{x_n+2}$
Mà $x_0>1\Rightarrow x_n>1$
Xét $x_{n+1}-x_n=\frac{1-x_n^2}{x_n+2}< 0$
Nên $(x_{n})$ là dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn
Tính ra ta được $\lim_{n\rightarrow \infty }x_n=1$
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
không biết bạn có cần nữa không, mình xin đưa ra 1 cách giúp bạn
có $x_{n+1}-1=\frac{x_{n}-1}{x_{n}+2}$
$x_{n+1}+1=\frac{3(x_{n}+1)}{x_{n}+2}$
suy ra $\frac{x_{n+1}+1}{x_{n+1}-1}= \frac{3(x_{n}+1)}{x_{n}-1}$
có $\frac{(x_{n}+1)}{x_{n}-1}=\frac{3(x_{n-1}+1)}{x_{n-1}-1}=...=\frac{3^{n}(x_{0}+1)}{x_{0}-1}=3^{n+1}$
từ đó đưa ra được $x_{n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}$
có $x_{n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}=1+\frac{2}{3^{n+1}-1}$
suy ra $x_{1}+x_{2}+...+x_{2008}=2008+\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{^{n+1}}-1}$
giờ cần CM $\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{^{n+1}}-1}< 1$
ta có $\sum \frac{2}{3^{n+1}-1}< \sum \frac{2}{\frac{1}{2}3^{n+1}}=\sum \frac{4}{3^{n+1}}$=$\4\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4}{6}< 1$
có $\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{n+1}-1}< \sum \frac{2}{{3^{n+1}}-1}< 1$ đpcm
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh