Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng x1+x2+....+x2008<2009

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
vuvanquya1nct

vuvanquya1nct

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Cho dãy số (un) thỏa

$x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$ và $x_0=2$

a) tính limxn

b)Chứng minh rằng $x_1+x_2+x_3+...+x_{2008}< 2009$

E đang cần gấp , quan trọng là câu b)


:ukliam2:  


#2
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Cho dãy số (un) thỏa

$x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$ và $x_0=2$

a) tính limxn

b)Chứng minh rằng $x_1+x_2+x_3+...+x_{2008}< 2009$

E đang cần gấp , quan trọng là câu b)

Mới nghĩ ra câu a  :( 

Ta có $x_{n+1}-1=\frac{x_n-1}{x_n+2}$

Mà $x_0>1\Rightarrow x_n>1$

Xét $x_{n+1}-x_n=\frac{1-x_n^2}{x_n+2}< 0$

Nên $(x_{n})$ là dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn

Tính ra ta được $\lim_{n\rightarrow \infty }x_n=1$


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

không biết bạn có cần nữa không, mình xin đưa ra 1 cách giúp bạn

có $x_{n+1}-1=\frac{x_{n}-1}{x_{n}+2}$

$x_{n+1}+1=\frac{3(x_{n}+1)}{x_{n}+2}$

suy ra $\frac{x_{n+1}+1}{x_{n+1}-1}= \frac{3(x_{n}+1)}{x_{n}-1}$

có $\frac{(x_{n}+1)}{x_{n}-1}=\frac{3(x_{n-1}+1)}{x_{n-1}-1}=...=\frac{3^{n}(x_{0}+1)}{x_{0}-1}=3^{n+1}$

từ đó đưa ra được $x_{n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}$

có $x_{n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}=1+\frac{2}{3^{n+1}-1}$

suy ra $x_{1}+x_{2}+...+x_{2008}=2008+\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{^{n+1}}-1}$

giờ cần CM $\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{^{n+1}}-1}< 1$

ta có $\sum \frac{2}{3^{n+1}-1}< \sum \frac{2}{\frac{1}{2}3^{n+1}}=\sum \frac{4}{3^{n+1}}$=$\4\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4}{6}< 1$

có $\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{n+1}-1}< \sum \frac{2}{{3^{n+1}}-1}< 1$ đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh