Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Giải hệ phương trình (đề thi hsg tp.hà nội)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 mathlike8

mathlike8

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hackers University

Đã gửi 25-11-2013 - 16:25

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}         \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\          \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\            \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.$

 

Mình coppy y nguyên đề thi hsp tp.HN trên trang chủ, mọi người cho ý kiến về phương trình đầu tiên và giải giúp mình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathlike8: 25-11-2013 - 16:30


#2 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 28-11-2013 - 14:35

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}         \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\          \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\            \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.$

 

Mình coppy y nguyên đề thi hsp tp.HN trên trang chủ, mọi người cho ý kiến về phương trình đầu tiên và giải giúp mình.

 

Đây là cách của mình mọi người xem có lỗi chỗ nào ko nhé :D

$\left\{\begin{matrix} \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\ \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\ \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix} x= \frac{y^3-3z^2-1}{3} & & \\ y= \frac{z^3-3x^2-1}{3} & & \\ z= \frac{x^3-3y^3-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Nếu $x>y$ ta chia 2 TH:

TH1: $y<z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $z>x>y$

lại có: $y=\frac{z^3-3x^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $y>x$ (vô lý)

TH2 $x>y>z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^3-1}{3} > \frac{z^3-3x^2-1}{3}=y$ => $z>y$ (vô lý)

Nếu $x<y$ tương tự => $x=y=z$ thế vào hệ => $x=y=z=1$



#3 mathlike8

mathlike8

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hackers University

Đã gửi 28-11-2013 - 17:13

Hình như bạn nhầm dấu trong phép biến đổi tương đương ở bước 1 rồi



#4 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 01-12-2013 - 15:46

Đây là cách của mình mọi người xem có lỗi chỗ nào ko nhé :D

$\left\{\begin{matrix} \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\ \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\ \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix} x= \frac{y^3-3z^2-1}{3} & & \\ y= \frac{z^3-3x^2-1}{3} & & \\ z= \frac{x^3-3y^3-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Nếu $x>y$ ta chia 2 TH:

TH1: $y<z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $z>x>y$

lại có: $y=\frac{z^3-3x^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $y>x$ (vô lý)     Có vần đề thì phải: $-3x^2>-3z^2$ có đúng khi $x<z<0$  không

TH2 $x>y>z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^3-1}{3} > \frac{z^3-3x^2-1}{3}=y$ => $z>y$ (vô lý)

Nếu $x<y$ tương tự => $x=y=z$ thế vào hệ => $x=y=z=1$

Cách của mình: 

Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)

 

*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$. 

 

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$    (Phương trình vô nghiệm)

 

*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$

 

*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$

 

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$

 

Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$  $\Rightarrow x=y=z$

 

$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$

 

Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn


Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#5 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 01-12-2013 - 17:33

Cách của mình: 

Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)

 

*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$. 

 

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$    (Phương trình vô nghiệm)

 

*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$

 

*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$

 

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$

 

Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$  $\Rightarrow x=y=z$

 

$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$

 

Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn

Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.

-----------------------------------------------

Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:

TH 1: $x> y> z$.

Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$

Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.

Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)

Th 2:  $x> z> y$.

Tương tự :

 

$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$

Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.

Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 01-12-2013 - 17:37

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#6 nuocmamkhamkham

nuocmamkhamkham

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 06-12-2013 - 21:48

từ z^{2} > x^{2} sao lại suy được luôn z < x <0.Hoàn toàn có thể xảy ra z<0<;x mà !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuocmamkhamkham: 06-12-2013 - 21:52


#7 kb1212

kb1212

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 21-12-2013 - 17:23

Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.

-----------------------------------------------

Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:

TH 1: $x> y> z$.

Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$

Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.

Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)

Th 2:  $x> z> y$.

Tương tự :

 

$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$

Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.

Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.

bạn ơi nhìn kĩ lại cái hệ thấy nó có hoán vị vòng quanh đâu bạn. cộng 3 phương trình lại hình như không được $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

phương trình đầu tiên là 3y^3 các phương trình còn lại là 3z^2 và 3x^2 mà.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh