Chủ đề này có 8 trả lời

[MrJokerWTF]

A. Cho a,b,c dương . Tìm max S = $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$
B. Cho a,b,c dương . Chứng minh : 1. $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
                                                        2. $\frac{a}{b(a+b)}+\frac{b}{c(b+c)}+\frac{c}{a(c+a)}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrJokerWTF: 25-11-2013 - 21:28

[Phuong Thu Quoc]

B.1/

Do BĐT là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=3$

BĐT trở thành $\sum \frac{a}{\left ( 3-a \right )^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Mặt khác ta có thể chứng minh được $\frac{a}{\left ( 3-a \right )^{2}}\geq \frac{1}{4}-\frac{a-1}{2}$ (nhân chéo )

Cộng 3 BĐT như trên ta được điều phải chứng minh...

[Trang Luong]

A. Cho a,b,c dương . Tìm min S = $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$
B. Cho a,b,c dương . Chứng minh : 1. $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
                                                        2. $\frac{a}{b(a+b)}+\frac{b}{c(b+c)}+\frac{c}{a(c+a)}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

a. $S=\frac{a}{b+c}+1+\frac{4b}{a+c}+4+\frac{9c}{a+b}+9-14=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b} \right )$

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy:

$\sqrt{\frac{1}{b+c}},\sqrt{\frac{4}{a+c}},\sqrt{\frac{9}{a+b}}$ và $\sqrt{b+c},\sqrt{a+c},\sqrt{a+b}$

Ta có: $\left ( \frac{1}{b+c} + \frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b}\right )\left ( a+b+b+c+a+c \right )\geq \left ( 1+2+3 \right )^{2}\Rightarrow \left ( \frac{1}{b+c} + \frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b}\right )\geq \frac{18}{a+b+c}$

[MrJokerWTF]

Sorry mình nhầm câu A là tìm max 

[kfcchicken98]

câu B

1. áp dụng bđt Cauchy Schwarz: $(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$ 

do$(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{9}{4}$ bđt nesbitt

suy ra VT$\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

[kfcchicken98]

câu b
bđt tương đương $\frac{a^{2}c}{a+b}+\frac{b^{2}a}{b+c}+\frac{c^{2}b}{a+c}\geq 1/2(ab+bc+ca)$

$\frac{a^{2}c}{a+b}+\frac{b^{2}a}{b+c}=\frac{a^{2}c^{2}}{ac+bc}+\frac{b^{2}a^{2}}{ab+ac}+\frac{c^{2}b^{2}}{bc+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$
P/S phải là lớn hơnhơn hoặc bằng $\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 25-11-2013 - 22:25

[Hoang Tung 126]

Bài 2: Câu a: Nhân tích chéo lên ta được :$\sum (\frac{a}{b+c})^2+\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{9}{4}$

Theo bdt Cauchy-Swtach và Nesbit có :$\sum (\frac{a}{b+c})^2\geq \frac{(\sum \frac{a}{b+c})^2}{3}\geq \frac{(\frac{3}{2})^2}{3}=\frac{3}{4}$

Và $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ rồi cộng theo vế ta có đpcm

[Hoang Tung 126]

Bài 1: câu b : Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z= > \sum \frac{a}{b(a+b)}=\sum \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}=\sum \frac{y^2}{x+y}$

Do đó ta cần CM :$\sum \frac{y^2}{x+y}\geq \frac{\sum x}{2}$(Hiển nhiên đúng theo bdt Cauchy-Swtach)

[Phuong Thu Quoc]

Còn 1 cách khác cho câu B1

Giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó $\left ( a,b,c \right ) và \left ( \frac{1}{\left ( b+c \right )^{2}} ,\frac{1}{\left ( c+a \right )^{2}},\frac{1}{\left ( a+b \right )^{2}}\right )$ là 2 bộ đơn điệu

Theo BĐT Chebyshev và BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$\frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{b}{\left ( c+a \right )^{2}}+\frac{c}{\left ( a+b \right )^{2}}\geq \frac{1}{3}.\left ( a+b+c \right ).\left ( \frac{1}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c+a \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( a+b \right )^{2}} \right )\geq \frac{a+b+c}{3}.\frac{\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right )^{2}}{3}\geq \frac{a+b+c}{9}.\left ( \frac{9}{2\left ( a+b+c \right )} \right )^{2}=\frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$