Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{b^2}{b+c}$

am-gm c-s

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết

Cho a,b,c>0. Chỉ dùng AM-GM hoặc C-S. CMR:

$\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{b^2}{b+c}$



#2
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó dùng BĐT hoán vị với 2 bộ đơn điệu $\left ( a^{2} ,b^{2},c^{2}\right )$,$\left ( \frac{1}{b+c} ,\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\right )$ ta có ngay đpcm

***


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#3
mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết

Giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó dùng BĐT hoán vị với 2 bộ đơn điệu $\left ( a^{2} ,b^{2},c^{2}\right )$,$\left ( \frac{1}{b+c} ,\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\right )$ ta có ngay đpcm

***

a,b,c nếu ko có vai trò như nhau thì làm sao đặt đk $a\geq b\geq c$


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#4
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết

Cho a,b,c>0. Chỉ dùng AM-GM hoặc C-S. CMR:

$\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{b^2}{b+c}$

 

Giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó dùng BĐT hoán vị với 2 bộ đơn điệu $\left ( a^{2} ,b^{2},c^{2}\right )$,$\left ( \frac{1}{b+c} ,\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\right )$ ta có ngay đpcm

***



#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta dễ có: $\sum_{cyc}\frac{b^2}{b+c}=\sum_{cyc}\frac{c^2}{b+c}$

Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{2a^2}{b+c}+\frac{2b^2}{c+a}+\frac{2c^2}{a+b}\geqslant \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\Leftrightarrow \frac{(a+b)(a-b)+(a+c)(a-c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b-c)+(b+a)(b-a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c-a)+(c-b)(c+b)}{a+b}\geqslant 0\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a+b)(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: am-gm, c-s

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh