Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 26-11-2013 - 10:44

Cho dãy số$(u_n)$$,n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}u_0=u_1=3 \\ u_2=9 \\ u_{n+3}=3u_{n+2}-u_n, \forall n \geq0 \end{matrix}\right.$

1.Chứng minh rằng có ba số thực  $a,b,c$ không đổi mà $a<b<c$ và $u_n = a^{n}+b^{n}+c^{n}$ với mọi số tự nhiên $n$.

2.Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.

P/S: Giúp mình ý 2 với...  :mellow:


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 04-10-2015 - 05:29

Cho dãy số$(u_n)$$,n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}u_0=u_1=3 \\ u_2=9 \\ u_{n+3}=3u_{n+2}-u_n, \forall n \geq0 \end{matrix}\right.$

1.Chứng minh rằng có ba số thực  $a,b,c$ không đổi mà $a<b<c$ và $u_n = a^{n}+b^{n}+c^{n}$ với mọi số tự nhiên $n$.

dễ thấy phương trình $x^3-3x^2+1=0$ có $3$ nghiệm $a,b,c$ mà
$-1<a<0<b<1<2\sqrt{2}<c$
xét dãy
$(v_n):v_n=a^n+b^n+c^n$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_0=v_1=a+b+c=3\\v_2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9 \end{matrix}\right.$
mặt khác ta có
$a^3-3a^2+1=0\Rightarrow a^{n+3}-3a^{n+2}+a^n=0$
tương tự với $b,c$ cộng lại ta có
$v_{n+3}-3v_{n+2}+v_n=0$
mà dễ thấy dãy $(u_n)$ được xác định duy nhất nên $u_n\equiv v_n$ hay
$u_n=a^n+b^n+c^n$
 
 

2.Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.

ta có

$0<a+b=3-c<1$

$\Rightarrow b^n> \left | a \right |^n\geq -a^n\Rightarrow 0<a^n+b^n\le a^2+b^2=9-c^2<1$

$\Rightarrow u_n-1<c^n=u_n-(a^n+b^n)<u_n$

$\Rightarrow \left [ c_n \right ]=u_n-1$

do đó

$\left [ c^{2011} \right ]+\left [ c^{2012} \right ]=u_{2011}+u_{2012}-2$

gọi $(r_n):\left\{\begin{matrix} u_n\equiv r_n(mod\ 12)\\0\le r_n<12 \end{matrix}\right.$ thì dễ thấy $(r_n)$ tuần hoàn với $r_{n+14}=r_n$

ta có

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \mathbf{n} &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13 \\ \hline \mathbf{r_n} &3&3&9&0&9&6&6&9&9&9&6&9&6&0 \\ \hline\end{array}$

do đó

$\left [ c^{2011} \right ]+\left [ c^{2012} \right ]=u_{2011}+u_{2012}-2\equiv r_9+r_{10}-2\equiv 1(mod\ 12)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-10-2015 - 17:50

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh