Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 26-11-2013 - 10:44

Cho dãy số$(u_n)$$,n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}u_0=u_1=3 \\ u_2=9 \\ u_{n+3}=3u_{n+2}-u_n, \forall n \geq0 \end{matrix}\right.$

1.Chứng minh rằng có ba số thực  $a,b,c$ không đổi mà $a<b<c$ và $u_n = a^{n}+b^{n}+c^{n}$ với mọi số tự nhiên $n$.

2.Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.

P/S: Giúp mình ý 2 với...  :mellow:


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 04-10-2015 - 05:29

Cho dãy số$(u_n)$$,n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}u_0=u_1=3 \\ u_2=9 \\ u_{n+3}=3u_{n+2}-u_n, \forall n \geq0 \end{matrix}\right.$

1.Chứng minh rằng có ba số thực  $a,b,c$ không đổi mà $a<b<c$ và $u_n = a^{n}+b^{n}+c^{n}$ với mọi số tự nhiên $n$.

dễ thấy phương trình $x^3-3x^2+1=0$ có $3$ nghiệm $a,b,c$ mà
$-1<a<0<b<1<2\sqrt{2}<c$
xét dãy
$(v_n):v_n=a^n+b^n+c^n$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_0=v_1=a+b+c=3\\v_2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9 \end{matrix}\right.$
mặt khác ta có
$a^3-3a^2+1=0\Rightarrow a^{n+3}-3a^{n+2}+a^n=0$
tương tự với $b,c$ cộng lại ta có
$v_{n+3}-3v_{n+2}+v_n=0$
mà dễ thấy dãy $(u_n)$ được xác định duy nhất nên $u_n\equiv v_n$ hay
$u_n=a^n+b^n+c^n$
 
 

2.Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.

ta có

$0<a+b=3-c<1$

$\Rightarrow b^n> \left | a \right |^n\geq -a^n\Rightarrow 0<a^n+b^n\le a^2+b^2=9-c^2<1$

$\Rightarrow u_n-1<c^n=u_n-(a^n+b^n)<u_n$

$\Rightarrow \left [ c_n \right ]=u_n-1$

do đó

$\left [ c^{2011} \right ]+\left [ c^{2012} \right ]=u_{2011}+u_{2012}-2$

gọi $(r_n):\left\{\begin{matrix} u_n\equiv r_n(mod\ 12)\\0\le r_n<12 \end{matrix}\right.$ thì dễ thấy $(r_n)$ tuần hoàn với $r_{n+14}=r_n$

ta có

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \mathbf{n} &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13 \\ \hline \mathbf{r_n} &3&3&9&0&9&6&6&9&9&9&6&9&6&0 \\ \hline\end{array}$

do đó

$\left [ c^{2011} \right ]+\left [ c^{2012} \right ]=u_{2011}+u_{2012}-2\equiv r_9+r_{10}-2\equiv 1(mod\ 12)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-10-2015 - 17:50

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh