Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 thanhelf96

thanhelf96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:nhiều woa đếm k xuể hehe ^^

Đã gửi 27-11-2013 - 22:29

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$


sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình  :icon6:


#2 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 27-11-2013 - 22:46

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Áp dụng BĐT Schwartz ta có$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sum \frac{1}{3xy}+\sum \frac{2}{3xy}\geq \frac{16}{(x+y+z)^{2}+xy+yz+zx}+\frac{2(x+y+z)}{3xyz}\geq \frac{16}{1+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}+\frac{2}{\frac{(x+y+z)^{3}}{9}}=12+18=30$

(ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nguyen Lan 1107: 27-11-2013 - 22:46


#3 NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K10A - THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 28-11-2013 - 07:45

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Đóng góp cách khác:

Áp dụng Svacxo ($\left ( \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right )\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$) ta có:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{9}{xy+yx+zx}$

$<=>\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}+\frac{7}{xy+yz+zx}$    (*)

Mà: Áp dụng Svaxo ta có:

$<=>\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9$

Mặt khác: Theo AM-GM ta được:

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)<=>xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}$

$=>\frac{7}{xy+yz+zx}\geq \frac{7}{\frac{1}{3}}=21$

$=>\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\geq 9+21=30$         (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Dấu "=" xảy ra $<=> x=y=z=\frac{1}{3}$

=> DPCM


Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh