Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thanhelf96

thanhelf96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$


sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình  :icon6:


#2
Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Áp dụng BĐT Schwartz ta có$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sum \frac{1}{3xy}+\sum \frac{2}{3xy}\geq \frac{16}{(x+y+z)^{2}+xy+yz+zx}+\frac{2(x+y+z)}{3xyz}\geq \frac{16}{1+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}+\frac{2}{\frac{(x+y+z)^{3}}{9}}=12+18=30$

(ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nguyen Lan 1107: 27-11-2013 - 22:46


#3
NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Đóng góp cách khác:

Áp dụng Svacxo ($\left ( \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right )\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$) ta có:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{9}{xy+yx+zx}$

$<=>\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}+\frac{7}{xy+yz+zx}$    (*)

Mà: Áp dụng Svaxo ta có:

$<=>\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9$

Mặt khác: Theo AM-GM ta được:

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)<=>xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}$

$=>\frac{7}{xy+yz+zx}\geq \frac{7}{\frac{1}{3}}=21$

$=>\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{2(xy+yz+zx)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\geq 9+21=30$         (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Dấu "=" xảy ra $<=> x=y=z=\frac{1}{3}$

=> DPCM


Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh