Chủ đề này có 5 trả lời

[5S online]

1/ Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên tm: $P(a)=P(b)=$$P$($c$)$=2$.

Cmr: $P(x)-3=0$ không có nghiệm nguyên.

2/ Cho $f(x)=x^{4}-3x^{3}+(2+a)x^{2}-x+a$. Cmr với mọi số nguyên $a$ thì $f(x)$ không có nghiệm nguyên lẻ.

3/ Cho đa thức f(x) xác định với mọi giá trị của $x$ nguyên dương và tm:
$\left\{\begin{matrix}f(1)=25 & & \\ f(1)+f(2)+...+f(n)=n^{2}f(n)(n\in \mathbb{N}*) & & \end{matrix}\right.$

Tính $f(2014)$

4/ Xét đa thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$(a khác 0)

Biết $|f(x)|\leq 1$, $x\in [-1;1]$

Tìm $Max b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 5S online: 29-11-2013 - 10:41

[perfectstrong]

Bài 1:

Đề không ổn. Phải có $a,b,c$ đôi một phân biệt. Nếu thế thì làm như sau:

Do gt nên \[
\exists Q\left( x \right) \in Z\left[ x \right]: P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)Q\left( x \right) + 2
\]
Lại có giả sử tồn tại $z \in Z: P(z)=3$ thì \[
P\left( z \right) = 3 \Leftrightarrow \left( {z - a} \right)\left( {z - b} \right)\left( {z - c} \right)Q\left( z \right) = 1
\]
Cho nên trong 4 số $z-a,z-b,z-c,Q(z)$ phải luôn có 2 cặp 2 số bằng nhau, do đó hoặc $z-b=z-c$ hoặc $z-c=z-a$ hoặc $z-a=z-b$. Trong mọi TH, ta đều có 2 trong 3 số $a,b,c$ bằng nhau: trái giả thiết. Nên phương trình $P(x)=3$ vô nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-12-2013 - 21:55

[dinhthanhhung]

 

2/ Cho $f(x)=x^{4}-3x^{3}+(2+a)x^{2}-x+a$. Cmr với mọi số nguyên $a$ thì $f(x)$ không có nghiệm nguyên lẻ.

3/ Cho đa thức f(x) xác định với mọi giá trị của $x$ nguyên dương và tm:
$\left\{\begin{matrix}f(1)=25 & & \\ f(1)+f(2)+...+f(n)=n^{2}f(n)(n\in \mathbb{N}*) & & \end{matrix}\right.$

Tính $f(2014)$

 

 

Bài 2 :

Khi x lẻ , dù a chẵn hay lẻ ta đều có f(x) lẻ do đó khác 0 

 

Bài 3 :

Ta có : $f(n)=n^2f(n)-(n-1)^2f(n-1)$ hay $f(n)=\frac{(n-1)}{n+1}f(n-1)$ 

Từ trên tính được $f(n)$ theo $n$ và $f(1)$ : $f(n)=\frac{2}{(n+1)n}f(1)$

[perfectstrong]

Bài 4:

\[
f\left( 1 \right) = a + b + c,f\left( { - 1} \right) = a - b + c \Rightarrow b = \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)}}{2} \le \frac{{1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = 1
\]
Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}  f\left( 1 \right) = 1 \\  f\left( { - 1} \right) =  - 1 \\  b = 1 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  a + c = 0 \\  b = 1 \\  \end{array} \right.$. Xét đa thức $f(x)=x^2+x-1$. Đồ thị của $f$ là parabol lồi dưới và có hoành độ đỉnh là $x=-\dfrac{1}{2}$ và tung độ đỉnh là $\frac{-3}{4}$

Khi đó\[
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( 1 \right)} \right|,\left| {f\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right|,\left| {f\left( { - 1} \right)} \right|} \right\} = \max \left\{ {1,\frac{3}{4},1} \right\} = 1
\]
Vậy $\max b=1$.

[tham2000bn]

Bài 4:

\[
f\left( 1 \right) = a + b + c,f\left( { - 1} \right) = a - b + c \Rightarrow b = \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)}}{2} \le \frac{{1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = 1
\]
Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}  f\left( 1 \right) = 1 \\  f\left( { - 1} \right) =  - 1 \\  b = 1 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  a + c = 0 \\  b = 1 \\  \end{array} \right.$. Xét đa thức $f(x)=x^2+x-1$. Đồ thị của $f$ là parabol lồi dưới và có hoành độ đỉnh là $x=-\dfrac{1}{2}$ và tung độ đỉnh là $\frac{-3}{4}$

Khi đó\[
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( 1 \right)} \right|,\left| {f\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right|,\left| {f\left( { - 1} \right)} \right|} \right\} = \max \left\{ {1,\frac{3}{4},1} \right\} = 1
\]
Vậy $\max b=1$.

nếu bài này yêu cầu tìm max củ F(x) hì lm tn z?

[perfectstrong]

nếu bài này yêu cầu tìm max củ F(x) hì lm tn z?

$\Max f(x)=1$ vì gt