Chủ đề này có 3 trả lời

[khonggiohan]

cho x,y,z dương.CMR

$\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

[canhhoang30011999]

cho x,y,z dương.CMR

$\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

áp dụng bbđt Svac ta có

$\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}= \sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x(y+z)^{3}}$$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+\sum x(y+z)^{3}}$

tá cần cm $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq \sum x^{4}+\sum x(y+z)^{3}$

$\Leftrightarrow 2\sum x^{4}+6\sum x^{2}y^{2}\geq \sum x(y+z)^{3}$

lại có $y^{4}+x^{2}y^{2}\geq 2xy^{3}$

$3x^{2}y^{2}+3y^{2}z^{2}\geq 6xzy^{2}$

tương tự ta có đpcm

[25 minutes]

cho x,y,z dương.CMR

$\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

Cách khác : BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+(\frac{y+z}{x})^3}\geqslant \frac{1}{3}$

Đặt $(\frac{y+z}{x},\frac{x+z}{y},\frac{x+y}{z})=(a,b,c)$, cần chứng minh 

                                  $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\geqslant \frac{1}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leqslant \frac{a^2+2}{2}$

          $\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a^3}\geqslant \sum \frac{4}{(a^2+2)^2}=\sum \frac{4}{\left [ (\frac{y+z}{x})^2+2 \right ]^2}$

Lại áp dụng $u^2+v^2+w^2 \geqslant \frac{(u+v+w)^2}{3}$ nên ta chỉ cần chứng minh 

                      $\sum \frac{1}{(\frac{b+c}{a})^2+2}\geqslant \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geqslant \frac{1}{2}$

Lại có $(b+c)^2+2a^2\leqslant 2(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow \sum \frac{a^2}{(b+c)^2+a^2}\geqslant \sum \frac{a^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{2}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

[Hoang Tung 126]

Cách khác : BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+(\frac{y+z}{x})^3}\geqslant \frac{1}{3}$

Đặt $(\frac{y+z}{x},\frac{x+z}{y},\frac{x+y}{z})=(a,b,c)$, cần chứng minh 

                                  $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\geqslant \frac{1}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leqslant \frac{a^2+2}{2}$

          $\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a^3}\geqslant \sum \frac{4}{(a^2+2)^2}=\sum \frac{4}{\left [ (\frac{y+z}{x})^2+2 \right ]^2}$

Lại áp dụng $u^2+v^2+w^2 \geqslant \frac{(u+v+w)^2}{3}$ nên ta chỉ cần chứng minh 

                      $\sum \frac{1}{(\frac{b+c}{a})^2+2}\geqslant \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geqslant \frac{1}{2}$

Lại có $(b+c)^2+2a^2\leqslant 2(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow \sum \frac{a^2}{(b+c)^2+a^2}\geqslant \sum \frac{a^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{2}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

Cách của bạn đến cái đoạn đặt là ra rồi mà việc gìd phải dài dòng thế