Chủ đề này có 2 trả lời

[zack]

cho a,b,c dương thỏa:$a^2+b^2+c^2\geq 1$. tim min

$P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zack: 30-11-2013 - 16:29

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab(a+b)}$

Mặt khác theo bđt AM-GM ta CM được :$ab^2+bc^2+ca^2\leq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3},a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}= > \sum ab(a+b)\leq \frac{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}\leq \frac{2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)}{3}=\frac{2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}{3}= > \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}=\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= > P$ Min =$\frac{\sqrt{3}}{2}< = > a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[25 minutes]

cho a,b,c dương thỏa:$a^2+b^2+c^2\geq 1$. tim min

$P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}$

Cách 1: Dùng Cauchy-Schwarzt 2 lần ta được 

                   $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geqslant \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có 

                   $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geqslant \frac{a^3+b^3+c^3}{3}(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2})$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geqslant \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$

           $\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geqslant \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$    (1)

Áp dụng AM-GM ta có $a^3+b^3+\frac{\sqrt{3}}{9}\geqslant a^2\sqrt{3}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta có $2(a^3+b^3+c^3)+\frac{\sqrt{3}}{3}\geqslant \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$

Lại có $\frac{\sqrt{3}}{3}\leqslant \frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{3}$

Từ đó $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}(a^2+b^2+c^2)$    (2)

Từ (1) và (2) ta có $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$