Chủ đề này có 3 trả lời

[thang96]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P=$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$

[thuan192]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P=$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$

Ta có P=$\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a+3}}=\sum \frac{b^{2}}{\sqrt{b\left ( a+3 \right )}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum \sqrt{b\left ( a+3 \right )}}=\frac{9}{\sum \sqrt{b\left ( a+3 \right )}}$

   Mà $\sum \sqrt{b\left ( a+3 \right )}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )\left ( a+b+c+9 \right )}=\sqrt{3.12}=6$

 suy ra $P\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

[hihi2zz]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P=$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$

Bất đẳng thức tương đương với:

$\sum \frac{b^2}{\sqrt{b(3+a)}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum \sqrt{b(3+a)}}$

Mà$(\sum \sqrt{b(3+a)})^2 \leq 3\sum b(3+a)\leq 9 \sum a+3\sum ab \leq 9\sum a+(\sum a)^2=9.3+3^2=36 \rightarrow \sum \sqrt{b(3+a)} \leq 6$

Suy ra $P \geq \frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}$

$"=" \Leftrightarrow a=b=c=1$..... 

[NMDuc98]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P=$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$

$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}=\frac{b^2}{\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c^2}{\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a^2}{\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}}$

Áp dụng Svacxo $\left ( \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{y}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\right )$ ta có:

$P\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}+\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}+\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}}$

$<=>P\geq \frac{9}{\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}+\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}+\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}}$          (*)

Áp dụng Bunhiacopxki ta có:

$(\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}+\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}+\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a})^2\leq (a+b+c)(2a+b+c+2b+c+a+2c+b+a)=36$

$<=>\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}+\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}+\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}\leq 6$    (**)

Từ $(*)$ và (**) ta suy ra: $P\geq \frac{9}{6}<=>P\geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra  $ <=> a=b=c=1$

$=>A_{min}=\frac{3}{2}$ tại $a=b=c=1$